Éléments, IX, 12. Ed. Heiberg, II, p. 362 et suiv

scolastique, que dans le syllogisme de la première figure la mineure ne doit jamais être négative, peut-elle être établie? Il suffît de supposer que la règle est fausse; les deux propositions deviennent alors les prémisses d'un raisonnement, que nous appellerons, pour la commodité du discours, pseudo-syllogisme^ et qui prendra la forme suivante :

Tout A es/ B, Nul C nest A, Donc nul C n'est B.

Si la règle à démontrer est niée, le type de ce pseudo-syllogisme devient légitime. Mais si le type est légitime^ il est possible de construire un raisonnement où, les deux prémisses étant vraies, la conclusion serait précisément la règle scolastique à laquelle le pseudo-syllogisme prétendait contredire.

Voici, en effet, la connexion qu'obtient Saccheri. D'une part, les deux propositions évidentes : Tout syllogisme de la première figure ayant les deux prémisses universelles affirmatives est valide. Nul syllogisme de la première figure ayant une mineure négative n'est un syllogisme de la première figure ayant les deux prémisses universelles affirmatives. D'autre part, la conclusion : ]\ul syllogisme de la première figure ayant l'une des deux prémisses négative n'est valide. De deux choses l'une, dira Saccheri : « Ou vous accordez, ou vous niez la conclusion. Si vous l'accordez, le but est atteint. Sinon, en refusant la conclusion après avoir accordé les prémisses, vous avouez qu'il n'est pas légitime de tirer de deux prémisses de cette forme la conclusion visée *, » La démonstration est donc aussi rigoureuse qu'on peut la souhaiter ; la vérité de la règle scolastique s'impose irrésistiblement à l'esprit humain, parce que, comme la vérité du Cogita cartésien, elle s'affirme dans sa négation même.

189. — L'effort de Saccheri va être maintenant de transporter en géométrie le procédé qui a fait ses preuves pour la logique formelle. L'effort est destiné sans doute à échouer; mais en raison des difficultés qu'il rencontre, il se révèle d'une fécondité inattendue. En effet, conformément à la marche que nous l'avons vu suivre dans sa Logica deductiva, Saccheri va constituer des types de géométries où, le postulat d'Euclide étant supposé faux, l'hypothèse de la fausseté aurait pour conséquence de ramener à ce postulat, ou du moins à une proposition équivalente.

1. Logica deinonstrativa, p. 132, apud Vailati, art. cit., p. 805.

LE P. SACCIIERI 317

La création do ces pseado-gëométries, parallèles aux pscudosyllop^ismes dont nous venons do parler, anticipe, en dépit des intentions de Saccheri, l'œuvre des Lobatschewsky et des Riomann.

Avec une pénétration tout à l'ait remarquable, il prend pour base la considération du quadrilatère birectangle isoscèle AB CD ou mieux du quadrilatère trirectangle LMBD. Les angles L,M,B étant droits, D peut être droit (fig. 11) {et c'est le postulat d'Euclide, sous la forme que déjà lui avait donnée au xiii' siècle le commentateur persan Nasr Eddin-al-Tusi ^), ou bien soit obtus soit aigu — deux hypothèses dont il s'agit de suivre les conséquences jus- Fig. n.

qu'à ce qu'y apparaisse une contradiction formelle : l'élimination de ces hypothèses apporterait alors une valeur apodictique à la thèse euclidienne.

A l'épreuve, les deux hypothèses témoignent d'une dissymétrie curieuse. Saccheri croit pouvoir faire la preuve que l'hypothèse de l'angle obtus est absolument contradictoire. Il lui suffit de quelques propositions pour démontrer que l'hypothèse conduit à concevoir deux droites distinctes ayant deux points communs; ce qui la met, suivant Saccheri, en contradiction avec une propriété essentielle de l'espace, celle qui, dans la Vulgate des Eléments, forme le postulat VI. Il y a donc clarté parfaite-.

Au contraire, Saccheri ne parvient à dévoiler de contradiction dans Ihypothèse de l'angle aigu qu'au prix de déductions laborieuses et dont il n'est pas lui-même entièrement satisfait; il réussit seulement à montrer que dans l'hypothèse de l'angle aigu, on arriverait à concevoir deux lignes qui ont une perpendiculaire commune et un point commun. Cela est, ajoute-t-il, contraire à la nature de la ligne droite ^ Mais de cette assertion, qui conserve une forme métaphysique, peut-on conclure à une contradiction formelle? Saccheri ne regarde pas son œuvre comme la solution définitive du débat ^. Il avait, semble-t-il, retardé autant qu'il était possible, la publication de son Euclides

1. Cf. Bonola (tr. Liebmann), Die Nichteuklidische Géométrie, Leipzig, 1908,

2. Euclides ab omni nœvo vindicatus sive : Conatus geometricus quo stabiliuntur prima ipsœ universœ geometriœ principia. Milan, 1733, prop., XIV, p. 19. Cf. Mansion, Annales de la Société scientifique de Bruxelles, t. XIV, 1889-1890, p. 35 et suiv.