Prop., XXXIX, SchoL, p

ab omni nsevo vindicatas, qui ne parut qu'en 1732, à la veille de sa mort, et trente-cinq ans après la Logica demonstrativa. Il invite ses successeurs à perfectionner, suivant la méthode dont sa Logique a tracé le modèle *, la réduction à Tabsurde de rhypothèse de Tangle aigu.

Seulement si ces tentatives sont destinées à échouer finalement, Tapplication de la méthode se retournera contre le dessein de son promoteur; l'hypothèse, dont on ne peut démontrer qu'elle est contradictoire, méritera d'être retenue, au même titre que la thèse euclidienne. Lobatschewsky, concurremment avec Bolyai, a constitué, d'une façon positive, cette géométrie non euclidienne dont Saccheri, et après lui Lambert, avaient, sous une forme négative, dessiné à l'avance les traits essentiels.

LOBATSCHEWSKY ET RIEMANN

190. — Rien n'est plus clair que la marche des idées de Lobatschewsky, telle quelle ressort, par exemple, de la Pangéomélrie de 1855. La définition des parallèles, dans la géométrie classique, est insuffisante pour caractériser une seule ligne droite; et il n'y a rien qui empêche d'étendre la notion de parallèle à deux droites qui comprennent un faisceau de droites non sécantes : « Étant donné une droite et un point dans un plan, écrira Lobatschewsky, j'appelle parallèle à la droite donnée, menée par le point donné, la droite limite entre celles des droites menées dans le môme plan par le même point et prolongées d'un côté de la perpendiculaire abaissée de ce point sur la droite donnée, qui la coupent, et celles qui ne la coupent pas-. »

Les conséquences de cette conception peuvent être développées, sans qu'une contradiction apparaisse; il y a donc une géométrie différente de la géométrie ordinaire. Cette géométrie est-elle vraie? Pour répondre à la question, il faut réfléchir aux conditions qui nous ont permis d'attribuer la vérité à la proposition où l'on peut voir la marque spécifique de la géométrie classique : la somme des angles d'un triangle rectiligne est égale à deux droits. Ce théorème se trouve démontré par les seules « notions fondamentales, c'est-à-dire les seules données d'évidence rationnelle ou intuitiA^e »; si personne jusqu'à présent n'en a mis en doute la vérité, c'est, dit Lobatschewsky,