Ibid., Il

l'xisloiico {>('om(Hriqiio. Pour lui conserver, malgré cela, une l'xislonce au moins idéale, et, par suite, pour rendre les deux points d'intersection correspondants distincts dans la conception, comme ils l'étaient auparavant, on dit et Ton conçoit qu'ils sont à une distance plus petite que toute distance donnée, à une distance infiniment petite. » Supposons, enfin, que par la continuité du même mouvement « les deux points d'intersection que l'on considère en particulier, après s'être rapprochés à une distance infiniment petite, perdent tout à coup et simultanément leur existence géométrique, parce que la droite se sera détachée de la portion de courbe correspondante; alors, pour leur conserver une existence de signe, au moins idéale, dans le discours et dans la conception, on dit que ces deux points sont devenus à la fois imaginaires, aussi bien que les distances qui les séparent de tout point réel donné; et, ainsi s'établit l'idée d'une continuité indéfinie dans la commune intersection des deux lignes* ».

De ces concc^ptions, Poncelet fournit assurément la preuve la plus parfaite qui se puisse concevoir, au point de vue pragmatique, puisqu'il y rattache le développement régulier et systématique de ce qui est devenu la géométrie moderne.

Pourtant, lorsqu'il a communiqué à l'Académie des sciences son Mémoire sur les propriétés projectives des sections coniques, qui contenait quelques-uns de ses plus beaux résultats, il trouva dans le Rapport de Cauchy une réserve très nette, et qui lui fut cruelle, sur la portée du principe de continuité. « Ce principe, écrit Cauchy, n'est, à proprement parler, qu'une forte induction, à l'aide de laquelle on étend des théorèmes établis d'abord à la faveur de certaines restrictions, aux cas où ces mêmes restrictions n'existent plus. Étant appliqué aux courbes du second degré, il a conduit l'auteur à des résultats exacts. Néanmoins, nous pensons qu'il ne saurait être admis généralement et appliqué indistinctement à toutes sortes de questions en géométrie, ni même en analyse. En lui accordant trop de confiance, on pourrait tomber quelquefois dans des erreurs manifestes. On sait, par exemple, que dans la détermination des intégrales définies, et, par suite, dans l'évaluation des longueurs, des surfaces et des volumes, on rencontre un grand nombre de formules qui ne sont vraies qu'autant que les valeurs des quantités qu'elles renferment restent comprises entre certaines limites - » .