Ibid., II

196. — Il serait oiseux de prolonger la polémique lointaine que ces lignes ont soulevée; entre la géométrie projective et l'analyse, il n'est pas nécessaire d'opter. Du point de vue technique, les malentendus auxquels pouvaient donner lieu ou un énoncé trop bref du principe, ou une critique trop elliptique, sont faciles à dissiper : « Poncelet, écrit M. Darboux, lui faisait du tort en se refusant à le présenter comme une simple conséquence de l'analyse; et Cauchy, d'autre part, ne voulait pas reconnaître que ses propres objections, applicables sans doute à certaines figures transcendantes, demeuraient sans force dans les applications faites par l'auteur du Traité des propriétés projectives ' ». Par les citations que nous avons faites, on aperçoit que dans la réalité Poncelet et Cauchy n'avaient pas été loin de satisfaire à ce double desideralum. Mais il reste qu'à travers deux hommes deux philosophies de la mathématique s'affrontent; ou d'une façon plus exacte, et pour nous plus instructive, à travers ces deux hommes le passage se laisse saisir de la philosophie qui avait inspiré la période classique des mathématiques à la philosophie de la période moderne.

Dans la période classique, la continuité apparaît comme la racine commune de l'analyse et de la géométrie. La formule abstraite et la représentation concrète, associées grâce à elle, se fécondent par leurs connexions réciproques, se dépassent tour à tour l'une l'autre, jouent alternativement le rôle de préteur ou d'emprunteur. La géométrie ou la mécanique avaient fourni à l'analyse ses principes; c'est sur le crédit de l'analyse que Poncelet étendra les relations géométriques au delà des bornes de l'intuition.

Au contraire, Cauchy fonde la science moderne de l'analyse, en commençant par mettre en question l'évidence intuitive qui avait permis d'appuyer l'une sur l'autre la délinition analytique de la fonction et la continuité de la courbe prise dans son ensemble. Par delà la généralisation géométrique de Poncelet, il récuse la généralisation algébrique qui avait inspiré la formule et l'usage nouveau du principe de continuité. Il faut, écrit-il dans Vlntroduction du Cours d'analyse algébrique, s'imposer de « ne jamais recourir aux raisons tirées de la généralité de

1. Élude sur le développement des méthodes géométriques. Bulletin des sciences mathématiques, 1904, p. 239.

l'algèbre. Los raisons do cette espèce, (juoique assez communément admises, surtout dans le passage des séries convergentes aux séries divergentes, et des quantités réelles aux expressions imaginaires, ne peuvent être considérées, ce me semble, que comme des inductions propres à faire pressentir quelquefois la vérité, mais qui s'accordent peu avec Texactilude des sciences mathématiques. On doit même observer qu'elles tendent à faire attribuer aux formules algébriques une étendue indéfinie, tandis que dans la réalité la plupart de ces formules subsistent uniquement sous certaines conditions et pour certaines valeurs des quantités qu'elles renferment ' ».

197. — Seulement il importe de ne pas faire Cauchy plus spéculatif, plus « philosophe » qu'il n'a prétendu l'être; ce serait du même coup altérer la nature spécifique du progrès que nous cherchons à retracer. La réorganisation intellectuelle de l'analyse, dont le logicien est tenté de faire un point de départ absolu, marque effectivement ici l'achèvement d'une œuvre que l'observation delà nature a provoquée, qu'elle a rendue nécessaire. De même que la constitution par NeNvton et par Leibniz du calcul infinitésimal couronne une série d'elTorts poursuivis sur le terrain de la mécanique et de la géométrie, de même la conception moderne de l'analyse est liée à des découvertes mathématiques que les problèmes de la physique avaient provoquées, et qui apportaient une solution aux questions laissées en suspens par le XVIII" siècle.

La mise en équation des conditions de la propagation de la chaleur conduit Fourier à des formules analogues à celles qui régissent les vibrations des cordes vibrantes : « Les formules ne diffèrent que par la valeur d'une même indéterminée, qui est réelle dans un cas et imaginaire dans l'autre^. » Fourier part de la remarque, due à Euler^ « que dans la série trigonométrique

( Oj sin x-\-a^ sin ^x -h . . .

fix) = < 1