Introduction, p. ii

2. Note relative aux vibrations des surfaces élastiques et au mouvement des ondes, 1818, Œuvres, éd. Darboux, t. II, 1890, p. 261.

3. Cf. Sachse, Essai historique sur la représentation d'une fonction arbitraire

Il vit que cette détermination reste encore applicable lorsque la fonction fix) est donnée tout à fait arbitrairement; il substitua d'abord pour f{x) une fonction dite « discontinue » (l'ordonnée d'une ligne présentant un point de rupture pour certaines valeurs de l'abscisse x) et il obtint ainsi une série qui, effectivement, donnait toujours la valeur de la fonction K » Une fonction qui « graphiquement » serait donnée d'une façon arbitraire ^ c'està-dire dont la détermination dans un certain intervalle de la variable n'entraînerait pas la détermination dans un autre intervalle, serait représentable par une série trigonométrique.

La généralité que Fourier donnait à sa proposition devait être de la part de ses successeurs l'objet d'un examen attentif. En particulier, Lejeune-Dirichlet a posé le problème de fixer les conditions auxquelles la fonction devait satisfaire pour que l'on pût démontrer la convergence de la série qui la représente, convergence que Fourier avait seulement supposée'. Du moins Fourier a-t-il eu conscience d'avoir brisé le cadre où une notion trop étroite de la continuité (celle que l'on appellera désormais continuité eulérienne) avait tenu l'analyse*. Il a « formé » une méthode générale qui a pour « élément principal... l'expression analytique des fonctions séparées, ou des parties de fonction. Nous entendons par fonction séparée, ou partie de fonction, une fonction f{x) qui a des valeurs subsistantes lorsque la variable

(Tune seule variable par une série trigonométrique, Irad. française, Bulletin des sciences mathématiques, 1880, p. 47.

1. Riemann, Ueber die Darstellbarkeit eincr Function durch eine trigonometrische Reihe (1854), Werke, p. 232, tr. Laugcl, p. 231.

2. Sur cette notion, il est intéressant de reproduire une réflexion de Kronecker : « La propriété qu'ont les séries de Fourier de représenter des fonctions arbitraires a extraordinairement frappé les mathématiciens. Il convient cependant d'observer que c'est seulement au sens mathématique que l'on doit entendre cette notion d'arbitraire ; elle reste toujours plus soumise à une règle que la loi la plus précise de la pratique. L'arbitraire consiste en ceci que nous pouvons choisir différemment pour différentes valeurs de la fonction, la loi de parcours, qui demeure inconditionnellement prescrite à la fonction. » Voiiesungen tiber die Théorie der cinfachen nnd der vielfachen Intégrale, publiées par Nctto, Leipzig, 1894, p. 94.

3. Sur la convergence des séries trigonométriques, qui servent à représenter une fonction arbitraire entre les limites données. Journal de Crelle, t. IV, Berlin, 1829, p. 157. Voir Fouet, Leçons, éd. citée, t. II, p. 97.

4. « Il est nécessaire d'admettre dans l'analyse des fonctions qui ont des valeurs égales, toutes les fois que la variable reçoit des valeurs quelconques comprises entre deux limites données, tandis qu'en substituant dans ces deux fonctions, au lieu de la variable, un nombre compris dans un autre intervalle, les résultats des deux substitutions ne sont point les mêmes. Les fonctions qui jouissent de cette propriété sont représentées par des lignes différentes qui ne coïncident que dans une portion déterminée de leur cours et offrent une espèce d'osculation finie. » (Èuvres, t. I, 1888, p. 224.

est comprise entre des limites données, et dont la valeur est loujours nulle si la vai-iable n'est pas comprise entre ces limites, dette fonction mesure Fordonnéc d'une ligne qui comprend un arc fini dune forme arbitraire, et se confond avec Taxe des abscisses dans tout le reste de son cours * ».

198. — De ces conséquences pratiques, Cauchy dégagea un problème théorique : il remarqua, dit M. Lebesgue - « que les difficultés qui résultent des recherches de Fourier se présentent même lorsqu'on ne se sert que d'expressions très simples, c'est-àdire que, suivant le procédé employé pour donner une fonction, elle apparaît comme continue ou non. Cauchy cite, comme exemple, la fonction égale à -{-x pour x positif, à — x pour x négatif. Cette fonction n'est pas continue, elle est formée de parties des deux fonctions continues H- œ et — x; elle apparaît au contraire comme continue quand on la note -i- \'x^ ».

De là devait sortir la refonte de la notion de continuité. Au lieu d'être la propriété d'une courbe ou d'une fonction, prise dans son ensemble, un attribut inhérent à un sujet mathématique, la continuité devient une relation élémentaire, qui servira d'instrument pour l'étude d'une fonction : « Soit f{x) une fonction de la variable x, et supposons que, pour chaque valeur de x intermédiaire entre deux limites données, cette fonction admette constamment une valeur unique et finie. Si, en partant d'une valeur de x comprise entre ces limites, on attribue à la variable X un accroissement infiniment petit a, la fonction elle-même recevra pour accroissement la différence

qui dépendra, en même temps, de la nouvelle variable a et de la valeur de x. Cela posé, la fonction f{x) sera, entre les deux limites assignées à la variable a:, fonction continue de cette variable, si, pour chaque valeur de x intermédiaire entre ces limites, la valeur numérique de la différence

décroît indéfiniment avec celle de a. En d'autres termes, la fonction fix) restera continue par rapport à x entre les limites données, si, entre ces limites, un accroissement infiniment petit de la variable produit loujours un accroissement infiniment petit