Op. cit., p

L AUTONOMli: DE L ANALYSE 335

• lu temps qui s'écoule pcinlanl le passag'C des corps d'un lieu h un autre'. »

En 1874, dans son Mémoire sur les fonctions discontinues, M. Darl)Oux lait la remarciue suivante : « Il existe des fonctions discontinues qui jouissent d'une propriété que Ton regarde quelquefois comme le caractère distinctif des fonctions continues, celle de ne pouvoir varier d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires^. » Ce sera pour prendre l'exemple le plus simple, « le cas de la fonction égale

à sin - pour x^o et à n'importe quelle valeur de l'intervalle

( — l,-<-l) pour cc = 0 ))^

11 est incontestable que ce renouvellement de l'analyse apporte plus de précision dans le langage, plus de clarté dans les idées. Mais on voudrait savoir davantage; on voudrait savoir s'il correspond à une pénétration plus profonde de la réalité mathématique, s'il trouve sa consécration dans les faits. A cette question, qui pour le philosophe est la question capitale, l'évolution de la mathématique depuis Cauchy, fournit les éléments d'une réponse significative.

200. — Tout d'abord, il convient, en raison de son importance intrinsèque, d'insister sur l'extension que reçoit la notion de Vintégration, et sur la transformation dans la physionomie du calcul infinitésimal qui en est la conséquence. Avec Cauchy, l'intégrale définie, dont la représentation géométrique a provoqué les premières opérations d'intégration, reçoit une définition analytique : elle est « la somme des valeurs infiniment petites de l'expression différentielle placée sous le signe /, qui correspondent aux diverses valeurs de la variable renfermée entre les limites dont il s'agit... Une semblable intégrale a une valeur unique et finie, toutes les fois que, les deux limites de la variable étant des quantités finies, la fonction sous le signe de / demeure elle-même finie et continue dans tout l'intervalle compris entre ces limites^. »

Ce qui importe, c'est d'étendre la notion de l'intégrale définie hors du domaine de la continuité. Cauchy appelle intégrale définie singulière, « une intégrale prise relativement à une ou à

1. De l'origine et des limites de la correspondance entre Valgèbre et la géométrie, 1847, p. 23. Cf. Essai, chap. xni : de la Continuité, t. I, p. 390.

2. Annales scientifiques de l'École normale supérieure, t. IV, 1875, p. 109.