Lebesgue, op. cit., p

4. Journal de l'École polytechnique, t. XII, xix° cahier, p. .571. Œuvres, 2' série, t. I, p. 333.

plusieurs variables entre des limites infiniment rapprochées de certaines valeurs attribuées à ces mêmes variables, savoir, de valeurs infiniment grandes, ou de valeurs pour lesquelles la fonction sous le signe / devient infinie ou indéterminée ^ » Supposons, par exemple, qu'une fonction soit continue dans un intervalle {a, b) sauf en un point c; nous pouvons former les intégrales

f{x)dx et / f{x)dx.

Si ces deux intégrales tendent vers des limites déterminées quand h tend vers zéro, la somme de ces limites représentera rintégrale

f{x)dx,

et nous poserons l'équation :

fj{x)dx = jl'^ç^ [£'''f[x)dx-^£j{x)dx'\

On obtiendrait l'intégrale prise dans l'intervalle (a, 6), alors même qu'il y a plusieurs points de discontinuité, en divisant l'intervalle (a, b) en intervalles partiels tels qu'il n'y existe plus qu'un point singulier, et en appliquant, s'il est possible, la méthode précédente.

Avec Riemann, qui pouvait puiser dans l'enseignement de Lejeune-Dirichlet ces considérations, la notion dintégrale va recevoir une extension plus grande encore : « Riemann », dit M. Lebesgue dont nous suivons ici l'exposé, « porte son attention sur le procédé opératoire qui permet, dans le cas des fonctions continues, de calculer Tintégrale avec telle approximation que l'on veut, et il se demande dans quels cas ce procédé, appliqué à des fonctions discontinues, donne un nombre déterminé -. »

Considérons une fonction qui est déterminée et qui demeure bornée dans un intervalle donné, elle a une limite supérieure : L, et une limite inférieure : /. Nous pourrons donc partager l'intervalle en une série d'intervalles partiels :

[ax^) (ccja\) . . . {Xn-ib) x^<x^ ... < a;„,.