Op. cit., p

L ALTONOMIK DK L ANALYSE 337

Dans chaque inlervalle la fonclion a une limite supérieure (L,, L.^, . . . L„^i) cl une limite inlVricurc (/,, /.^, . . . /„i). Nous obtiendrons donc les sommes :

S„ = {x^ — a) L, -I- (x.2 — X,) L.^ . . . -t- (6 — a;„,) Lns„ = (x, — a) /, -h (Xj — a?i) /, -h . . . H- (6 — x„-t)l„.

Nous formons ainsi les concepts dune limite supérieure et d'une limile inférieure de la fonction de l'intervalle (a, 6) — intégrale par excès et intégrale par défaut, suivant l'appellation de M. Darboux. Si ces deux limites ont môme valeur, la valeur commune des limites est aussi, par définition, la valeur de l'intégrale.

201. — C'est ici que l'analyse retournera sur elle-même, pour produire le fait décisif : après avoir fait sortir l'intégration des bornes où la notion intuitive de la continuité lavait tenue enfermée, elle va déceler dans cette notion une source d'illusion et de fausseté. En effet, s"il existe des fonctions discontinues susceptibles d'intégration, il y a des fonctions continues n'ayant pas de dérivées'. Or, que la continuité de la fonction entraînât l'existence de la dérivée, c'était une proposition fondamentale dans la conception intuitive du calcul infinitésimal.

Par exemple, dans un fragment de son Cours à l'école polytechnique, Poinsot établissait l'existence de la dérivée de la façon suivante : « On peut même dire que le rapport de deux choses homogènes ne dépendant ni de leur nature, ni de leurs grandeurs absolues, par la définition même du rapport, la quantité {ly : \x) a toujours une limite; et c'est ce que la considération d'une courbe et de sa tangente, dont l'existence n'est pas douteuse, fait voir d'ailleurs avec la dernière évidence ^. »

Bien plus, dans son mémoire de 1806 intitulé : Recherches sur quelques points de la théorie des fonctions dérivées, etc., Ampère

1. Darboux, op. cit., p. 58. « La tradition, dit M. Klein, nous apprend que plus tard Riemann lui-même indiquait à ses élèves le point suivant comme étant le résultat le plus merveilleux de la critique moderne : l'existence de fonctions continues qui ne sont, en aucun point, susceptililes de différenciation » in Riemann, Œuvres mathématiques, tr. Laurel, p. xxxiii. Voir le début de la note de Weierstrass : Ueber continuirlicke Funktionen eines reellen Arguments, die fiir keinen Werlh des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen (1872). Werke, t. II, Berlin, 1893, p. 70.

2. Des principes fondamentaux et des règles générales du calcul différentiel. Correspondance sur rÉcole polytechnique, t. III, n" 2, mai 181.5 p. 115, citée par M. Mansion, Résumé du Cours cVanalyse infinitésimale, p. 291.

Brunschvicg. — Les étapes. 22

s'était flatté de démontrer ' que la fonction de x et de i

« ne peut devenir ni nulle ni infinie pour toutes les valeurs de X, lorsqu'on fait i=.o ». Et l'on trouve dans le Traité d" Algèbre de Joseph Bertrand et Henri Garcet les lignes suivantes, qui sont empruntées à l'édition de 1878 : « On peut demander si une fonction continue quelconque a une dérivée. Nous répondrons d'abord qu'en fait nous allons trouver, dans les paragraphes suivants, les dérivées des principales fonctions; ce qui démontrera leur existence a posteriori. Nous ajouterons d'ailleurs que la fonction étant continue, l'équation : y = f{x), représente une courbe plane continue, rapportée à deux axes rectangulaires; et l'on démontre, en géométrie analytique, que la dérivée représente la tangente trigonométrique de l'angle que fait avec l'axe Ox la tangente à la courbe au point {x, y). Comme en chaque point une courbe continue a une tangente bien déterminée, la fonction admet une dérivée- ».

Mais, dès 1872, Weierstrass avait communiqué à l'Académie des sciences de Berlin, l'exemple d'une fonction continue qui n'a pas de dérivée pour l'ensemble des valeurs de la variable comprises dans un certain intervalle.

La fonction dont il s'agit est représentée par la série costix -+- b cos CIT. x-{- b- cos a^i: x-h b^ cos rt^ tt a? -}- ... où x est une variable réelle, a un nombre entier impair plus grand que 1, 6 une constante positive inférieure à l'unité. En d'autres termes, l'on a

Y{x) = ^b" cos{a"-Kx).

La série converge uniformément (c'est-à-dire quel que soit l'ordre de ses termes); car ses termes ne surpassent pas ceux de la progression S 6»; Vx est une fonction continuel

<( Si Ion a a6 < 1, V{x) a pour dérivée la série

Y'x = — '!z :£{abY sin {a"T.x).

Mais si ab surpasse 1 -f--^, F(cr) n'a plus de dérivée. En etîet,