LA « LOI DE NOMBRE

204. — En 1833, dans ses leçons de Turin qui ont été conservées par l'abbé Moigno, on voit que Cauchy reprend une remarque de Galilée, dont nous avons retrouvé un écho dans la Géométrie de l'infini de Fontenelle; il compare la suite des nombres entiers positifs et la suite de leurs carrés : « Si la suite des nombres entiers pouvait être supposée actuellement prolongée à rinfini, les termes carrés y seraient en très grande minorité^. » La suite des nombres entiers est donc plus grande i que la suite des nombres carrés, et pourtant les deux suites i doivent être infinies, puisque tous les nombres entiers ont un carré. De là Galilée s'était borné à tirer cette conclusion toute négative que « les attributs d'égal, de plus grand ou de plus petit, ne conviennent pas aux infinis dont on ne peut pas dire que l'un soit, par rapport à l'autre, ou plus grand ou plus petit ou égal\ » Mais Cauchy conclut à une contradiction dans la

1. Compte rendu du Congrès des mathématiciens tenu à Slockliolm, 22-2.J septembre 1909, Leipzig et Berlin, 1910, p. 13.

2. Molk, Sur la notion de divisibilité et sur la théorie générale de V élimination, Acla malhematica, t. VI, 188o, p. 3.

3. Sept leçons de physique générale, 1868, troisième leçon, p. 24. Cf. Couturat, De Vinjini mathématique, 1896, p. 480.

4. Discorsi e Demostrazioni (1638). Première journée, Édit. nationale, t. VIII, 1898, p. 78.

conception d'une suite infinie de nombres, et il confère à celle conclusion une portée positive et métaphysique : « On ne saurait admettre la supposition d'un nombre infini d'êtres, ou d'objcis coexistants, sans tomber dans des contradictions manifestes. » C'est-à-dire que les lois relatives au calcul des nombres entiers positifs conviennent nécessairement aux choses données dans la nature, par exemple aux étoiles, qu'elles peuvent servir à en déterminer a priori les caractères, ce qui est en contradiction avec l'arithmétique des nombres finis devant être considéré comme contradictoire en soi.

Une telle conception introduit dans des raisonnements de forme arithmétique des postulats implicites qui débordent le cadre de la science dont Gauchy paraît invoquer l'autorité; elle se réfère, par conséquent, à une théorie de la connaissance, qu'il appartient au philosophe de dégager.

En 1854, dans son Premier Essai de Critique générale. Renouvier a présenté cette théorie sous une forme systématique; il l'a développée depuis, avec une patience, avec une passion inlassables; nous lui emprunterons les traits essentiels de ce qui constitue la philosophie arithmétiste.

205. — Renouvier définit la connaissance par la liaison de deux fonctions qui ne peuvent se développer que corrélativement et parallèlement l'une à l'autre : la fonction du représentatif (fonction subjective dans le langage ordinaire, fonction objective dans la terminologie de Renouvier); la fonction du représenté (fonction objective dans le langage ordinaire, fonction subjective dans la terminologie de Renouvier). « Nulle représentation n'est sans un représenté de la même réalité qu'elle, quoique irreprésentable et par conséquent inconnaissable en dehors de toute représentation*. » L'intelligibilité intrinsèque ne suffit donc pas pour conférer à la science une valeur de vérité; il faut y joindre un objet concret. La condition de la connaissance est la connexion et la réciprocité de la pensée pure et de l'intuition empirique : « Les données des sciences mathématiques sont à la fois représentées a priori^ vérifiables et vérifiées a posteriori-. »

La nécessité de cette correspondance apporte une précision singulière à la thèse générale du relativisme; la relation fondamentale qui permet d'appuyer le cours de la pensée sur une

1. Essai de Critique générale, premier essai. Traité de logique générale cl de logique formelle, 2° édit. (augmentée), t. I, 1875, p. 38.