Ibid., p

La moindre démarche de l'arithmétique en dehors du calcul des entiers positifs, par exemple le partage d'un entier en deux ou en trois parties, suffira donc à faire évanouir la relation du sujet et de l'objet qui avait été le principe et la garantie du savoir humain. De la sphère de réalité on tombe dans la région des symboles : « Ce serait renverser les notions les plus claires que d'admettre dans Tarithmétique abstraite des nombres hybrides tels que q-hp, q étant formé au moyen d'une unité et p au moyen d'une autre... C'est cependant ce que l'on fait quand on parle de nombres fractionnaires, et qu'on appelle les fractions des nombres... » Mais « le problème de l'unité divisée, impossible arithmétiquement, se résout à volonté pour de certaines grandeurs concrètes et... le quotient ci-dessus q-\-o prend une signification en tant que partie d'une quantité continue. On

convient alors d'adopter le symbole x au lieu de p, pour la

représentation de /- unités b fois moindres que celles qui servent à estimer la quantité r, dividende proposé ' » .

208. — «Les fractions ne s'étendent pas à l'expression du continu tout entier. » Il faut faire intervenir « les grandeurs incommensurables, dont l'existence se révèle au mathématicien dès les premiers pas qu'ilfait dans sa science ». Mais, par leur définition même, ces grandeurs excluent toute représentation de rapports par des nombres ou par des fractions, c'est-à-dire « par des quantités abstraites suivant la définition rigoureuse du quantum à laquelle, dit Renouvier, on a souvent le tort de ne pas s'attacher ^ n. Le problème sera donc plus complexe que le problème relatif aux fractions; mais la solution sera de même nature, elle exigera seulement la constitution d'un symbolisme plus compliqué, symbolisme du second degré. En effet, dans la frac-

tion-,tant que les termes sont commensurables, b et a sont

des nombres; il n'en est plus de même dans l'hypothèse de l'incommensurabilité. Il n'existe plus de rapport entre les quantités 6 et a; « mais un rapport existe toujours entre l'une d'entre elles, soit a, et une autre quantité b + e variable, que l'on peut toujours supposer différente de b, de moins que d'une quantité assignée, quelque petite que soit cette dernière... Les

rapports de la forme - seront le symbole des rapports possibles