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de rinfinitésimal : « Il y a une autre question essentiellement différente et qu'on a le tort de confondre avec la première; c'est celle de l'idée à se faire de cette méthode, c'est-à-dire de ses applications, en tant qu'elle permettrait, en géométrie et en algèbre, de résoudre des problèmes à mon avis contradictoires : donner la mesure d'une quantité dont l'incommensurabilité esl démontrée, permettre l'assimilation rigoureuse dune circonférence à un polygone, supposer une limite atteinte dans une suite d'opérations illimitées, autoriser l'assimilation à un nombre donné en soi d'une série indéfinie de nombres dont la somme numéri({ue est irréalisable, et enfin, dans l'ordre concret, considérer un corps comme formé d'un assemblage d'élément réels et donnés en nombre infini. Sous ce rapport je ne puis considérer que comme un calcul d'approximation, mais d'approximation indéfinie, ce même calcul que je soutiens être absolument rigoureux quand on ne le considère qu'idéalement et dans les conventions qui lui donnent naissance, ou encore dans celles de ses applications qui ne supposent aucun infini réalisé*. » En un sens donc, l'idéalité rigoureuse du calcul infinitésimal suffit à le constituer comme science; en un autre sens, elle ne suffit pas à lui conférer une pleine valeur de vérité, il lui manque la réalité.

La philosophie mathématique que Renouvier a présentée comme idéaliste implique donc, sous l'homogénéité apparente de la terminologie, deux conceptions bien différentes. La première, toute rationaliste, constitue l'idée en tant que rapport interne, procédant du dynamisme essentiel à l'intelligence; l'idée de fraction, ou de grandeur incommensurable, se justifie ainsi en toute rigueur par la chaîne de raisons qui en fonde le symbolisme. Dans la seconde conception, qui s'apparente à l'empirisme de Berkeley et de Hume, la relation constitutive de l'idée est externe, et non interne ; l'idée s'accompagne d'un objet qui, au lieu d'être une chose en soi, est une image, mais qui garde à travers cette transposition le caractère essentiel que l'intuition réaliste lui avait attribué, qui demeure un élément sensible, une individualité concrète. Le rôle privilégié, exclusif, que Renouvier réserve au nombre entier positif, relève de celte interprétation purement Imaginative de l'idéalisme.

Les deux formes de l'idéalisme sont-elles compatibles? Renouvier est réduit, pour les concilier, à invoquer cette distinction du virtuel et de Vactuel, qu'Aristote avait imaginée

1. Cf. De la justification de la méthode infinitésimale en géométrie, examen du système de M. Evellin, p. 334.

LA Tlli:()ltli: DU SYMBOLISME 3!;3

pour répondre aux paradoxes de Zenon sur linlini; et c'est précisément une question de savoir si cette distinction n'iinplicpu; pas, et ne réintègre pas en lait dans le néo-criticisme, le dogmatisme métaphysique dont elle est née, si des penseurs tels que Diihring ou Evellin n'ont pas été mieux inspirés, ou, tout au moins, plus conséquents que Renouvier, en rattachant le principe du nombre à une conception franchement réaliste de l'univers '.

En tout cas, et si nous laissons de côté la destinée philosophique du renouviérisme pour n'en retenir que la liaison avec la science, nous comprenons facilement que les mathématiciens ne s'embarrassent guère de distinctions spéculatives entre le possible et le l'éel. Du moment que les notions fondamentales de la mathématique abstraite sont possibles, elles ont toute la réalité dont la science a besoin pour se constituer. Déjà Desargues écrivait : « En géométrie, on ne raisonne point des quantités avec cette distinction qu'elles existent ou bien elTectivement en acte, ou bien seulement en puissance '-. » Il ne pouvait en être autrement pour les savants du xix" siècle. Ceux-là mêmes qui ont suivi la voie où Renouvier s'était engagé par la conception du symbolisme, se sont affranchis des timidités et des restrictions auxquelles sa théorie de la connaissance le condamnait. Ils ont donné une définition directe de la limite et de l'irrationnelle, dont Renouvier ne se lassait pas de dénoncer la contradiction intrinsèque; ils les ont fait entrer à titre positif dans la constitution de l'analyse.

1. La relation des doctrines de Dûhring et d'Evellin à celle de Renouvier a été étudiée dans l'Anné(> philosophique : Lefinitisme de Dûhring, par Henri Bois, 20° année (1909) 1910, p. 102 et suiv., et Le réalisme finitiste de F. Evellin, par L. Dauriac, 21" année (1910) 1911, p. l?.") et suiv.

2. Traité des coniques, édit. Poudra, t. I, 1864, p. 228. Cf. Couturat, De l'infini malhématiqiie, 1896, p. 493.

Brunschvicg. — Les étapes.