Remarques, p

3. P. IV. Cf. chap. VII, p. 173 : « En analyse, on appelle expression symbolique ou symbole, toute combinaison de signes algébriques qui ne signifie rien par elle-même, ou à laquelle on attribue une valeur différente de celle qu'elle doit aaturellemeat avoir. On nomme de même équations symboliques toutes celles qui, prises à la lettres et interprétées d'après les conventions généralemenl établies, sont inexactes ou n'ont pas de sens, mais desquelles on peut déduire des résultats exacts, en modifiant et altérant selon des règles fixes ou ces équations elles-mêmes ou les symboles qu'elles renferment. »

l'arithmétisatkjn I)k l'analyse 3;j.!i

conception, — t\m n'a sans doute pas satisfait complètement Cauchy, puisijiTil tentera successivement, comme nous le verrons, une justification géonuHri(|ue et une justification algébrique des (juanlités imaginaires ' — acquiert toute sa précision et toute sa portée avec l'exposé de Méray.

Selon Méray, « si quelques tracés géométriques fournissent pour ces quantités [les imafjinaires] des notations très commodes... il n'en résuite pas, tant s'en faut... qu'il y ait plus de rapports entre ces deux sortes de choses qu'entre un phénomène quelconque, statistique ou autre, et la courbe qui en fournil une image optique-. »

Il n'y a pas heu de l'aire « de vains efforts pour pénétrer le sens du signe \ — 1 , qui, elïectivement, n'en a aucun, parce qu'une quantité négative n'a point de racine carrée*». La quantité désignée par y' — 1 n'est autre chose qu'une combinaison de nombres réels (a, 6), rangés dans un ordre déterminé et auxquels on convient a priori d'appliquer un certain nombre de règles, règles conçues par analogie avec les règles de l'arithmétique ordinaire et qui vérifient les lois de ïassociativité et de la comnmtativité.

Il suffit d'insister ici sur la règle de la multiplication qui fournit la caractéristique de la quantité imaginaire : « Le produit de (a', a") par (6', 6") se forme en prenant la quantité {a b' — a" b", a' b' -h a" b') » *. Si nous appliquons cette règle pour former le carré de la quantité imaginaire (0,1), nous obtenons

a' = b' = 0 a" — b" = i et, par suite, (0,1)2= (0 — 1, 0 + 0)

c'est-à-dire que le carré de l'expression imaginaire (0,1) est égal à — 1, et que si nous désignons par un symbole spécial tel que i l'expression (0,1), que nous pouvons faire entrer comme facteur dans toute expression imaginaire, nous obtenons la relation : i^=z — 1. En vertu de cette relation, dit Méray, « notre signe / représente bien... une racine carrée de — 1, mais de — 1 écrit par convention expresse à la place de la quantité imaginaire ( — 1,0), ce qui est tout différente » Dans la pratique (a, b)