Ibid., p

prendra la forme a 4- \ — 1 6, ou a -f- ib ; ce qui importe, c'est de bien comprendre qu'on a ainsi donné corps à des « simulacres » d'où l'on redescend... à volonté et sans effort aux réalités du calcul vulgaire ^ »

Le calcul des imaginaires est une extension de l'arithmétique ordinaire; il se justifie a priori par une série de conventions qui ne prêtent à aucune obscurité, à aucune équivoque, puisque les nombres réels en sont les seuls éléments.

211. • — Une conception du même ordre permet de concevoir le passage du rationnel à l'irrationnel. Ici encore Cauchy est un précurseur; plus exactement c'est à lui qu'on doit d'avoir définitivement introduit dans la science positive la conception tout arithmétique de la limite que l'on trouve déjà chez les mathématiciens du XVII* siècle, et particulièrement chez Wallis. Le Cours de 1821 s'exprime ainsi : « Lorsque les valeurs successivement attribuées à une même variable s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu qu'on voudra, cette dernière est appelée la limite de toutes les autres "^. » La limite se définit donc à l'aide de valeurs exactes qui sont successivement assignées à la variable; elle-même acquiert une valeur exacte lorsqu'elle ne diffère de telle valeur déterminée de la variable que d'une quantité inférieure à s, si petit que soit e.

Mais cette conception ne suffit pas encore à trancher une difficulté, qui se présente immédiatement dans le passage même que nous venons de citer : « Ainsi, par exemple, écrit Cauchy, un nombre irrationnel est la limite des diverses fractions qui en fournissent des valeurs de plus en plus approchées. »

Faut-il comprendre par là qu'antérieurement au processus d'approximation qui définit la limite, et pour le justifier, l'existence du nombre irrationnel est déjà supposée, qu'il convient par conséquent d'en chercher l'origine ailleurs, dans les images qui fournissent la représentation géométrique? Ou bien le

1. Leçons sur l'analyse infinitésimale et ses applications, t. I, 1894, p. 37.

2. P. 4. Cf. Bolzano, Rein analytischer Beweis, etc. Prague, 1817, § 7, : « Si une série de grandeurs

FiX, F2X... FnX... Fn+^X

est telle que la différence entre son n^'"^ terme Fnx et le terme plus éloigné ¥7i+iX, demeure quelle que soit la distance des deux termes, plus petite que toute quantité donnée, quand on prend n suffisamment grand, alors il y a une quantité déterminée constante, et une seule, dont les termes de la série s'approchent toujours davantage... » (Ed. Jourdain, Leipzig, 1905, p. 21.)

L AHITHMIiTISATION DK L ANALYSE 357

mouvoiiKMil lof^ique cjui a présidé à la rénovation de l'analyse ne condiiil-il pas pliilôl à faire naître l'idée de nombre irrationnel sur le terrain piircmont arithniéti(iue, en vertu du procédé qui a réussi pour la nolioii do limite?

On commencera par restreindre la notion de limite au cas où la grandeur limite est une quantité rationnelle. Dans ce cas, les notions s'enchaînent naturellement, sans qu'on ait à supposer d'autres quantités que des quantités rationnelles, c'est-à-dire rien d'autre que des nombres définis par les opérations ordinaires de l'arithmétique. Nous considérons une suite formée par une infinité de valeurs numériques assignées à une variable.

et que nous comprendrons sous le nom général de variable progressive, ou de variante '. S'il arrive qu'à partir d'un certain rang m la différence v^j^p — v,n est plus petite en valeur absolue que le nombre rationnel £, si petit que soit e, on dira que la variante est convergente. Nous pouvons, pour abréger les opérations, représenter les variantes convergentes par des signes appropriés. Nous désignerons, par exemple, par U la variante convergente de la suite Up u,. . . Uya telle que, à partir d'un certain rang m, U — «,„<£, quel que soit s. Lorsque U se trouve être une quantité rationnelle, nous n'aurons fait autre chose que d'abréger le discours. Qu"arrivera-t-il dans le cas où il n'y aurait pas de quantité rationnelle U telle que U — u„, < s? Alors, à prendre les choses en toute rigueur, nous n'aurons pas le droit de parler de limite; mais nous pouvons, pour exprimer la convergence de la variante qui résulte de l'inégalité u,n+.p — Utn < e, créer un simulacre nouveau, qui sera cette fois un simulacre absolu, et traiter la quantité non-rationnelle, la quantité fictive, ou incommensurable, comme nous ferions d'une limite effective : « Quand une variante convergente ne tend pas vers quelque limite, on lui en assigne une idéale qu'on nomme un nombre ou une quantité incommensurable, et qu'on représente par le même signe que si elle existait réellement. On peut alors exprimer la convergence d'une variante quelconque, en disant quelle tend vers une certaine limite (effective ou idéale suivant le cas)* ».

Ainsi, nous considérons la suite indéfinie des nombres rationnels :