VIII AVANT-PROPOS

M. Conant relatif aux modes primitifs de numération, apportait, au chapitre v de son ouvrage : Les Fonctions mentales dans les sociétés inférieures, des documents d'un intérêt exceptionnel sur les rudiments du calcul. Dans l'Étude historique et critique de M. Robin : La théorie platonicienne des Idées et des Nombres d'après Aristote, nous trouvions une analyse exhaustive des témoignages d'origine aristotélicienne par lesquels on peut avoir accès à l'enseignement de l'Ancienne Académie. Enfin nous ne saurions dire de combien d'améliorations importantes dans notre exposé nous sommes redevables aux conseils, les plus précieux que nous a3'^ons pu souhaiter, de deux savants dont les noms ont été cités plus haut : MM. Maximilien Winter et Pierre Boutroux'.

Nous voudrions indiquer maintenant comment notre enquête historique nous a guidé vers les conclusions que nous avons soutenues dans les dernières pages de notre travail.

Chaque fois qu'une des grandes disciplines de la mathématique, l'arithmétique, la géométrie, l'analyse infinitésimale, a pris définitivement conscience de soi, nous avons vu se constituer un système qui appuyait sur cette discipline une conception universelle des choses : le pythagorisme, le spinozisme, le leibnizianisme. Pour des causes que le recul du temps permet aujourd'hui de discerner, aucun n'est parvenu à fixer l'équilibre mobile de la pensée. A plus forte raison, les tentatives de l'arithmétisme ou de la logistique pour rattacher la mathématique à une forme qui exprimerait une nécessité permanente, une vérité éternelle, étaient-elles destinées à échouer. L'histoire rend compte du détour de pensée qui a ramené les philosophes vers l'ontologie de Pythagore ou d'Aristote ; mais elle explique aussi, en nous faisant assister à l'évolution des doctrines qui ont eu leur point de départ dans l'interprétation arithmétiste ou logis-

i. Nous tenons à cœur d'associer, dans l'expression de notre gratitude, M. Jean Wahl, agrégé de philosophie, et M. Paul Wahl, ingénieur des ponts et chaussées, qui ont bien voulu nous seconder, de tout leur dévoùment clairvoyant, dans la correction des épreuves.

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tique des ni;illiéniati(|ue.s, pourquoi elles étaient in» aiJiihles (le répondi'c à l'intention dogmatique de leurs fondateurs.

D'autre part, le dévelo|)pement de la science au xix' siècle ne permet pas ([ue, pour en justifier plus aisément les principes, on subordonne la mathématique aux études mécaniques et ph3'siques dont elle deviendrait un simple instrument. La position d'un Kant ou d'un Auguste Comte reflète sans doute les caractères de la période qui, ouverte avec les successeurs de Newton, s'étend jusqu'à Lagrange et à Laplace; elle ne se comprendrait plus en face de la transformation qui s'est accomplie dans l'idée de science expérimentale, en face de la rénovation de l'analyse : depuis Cauchy et depuis Abel, la mathématique moderne a fait la preuve d'une autonomie qui lui a donné le moyen de frayer, dans le domaine des recherches naturelles, des voies inattendues.

Dès lors, l'enquête que nous avons entreprise pourrait paraître se terminer à elle-même, sans laisser subsister de réponse au problème delà vérité, sans apporter le remède au désarroi de la spéculation contemporaine. Mais la succession des systèmes métaphysiques qui ont fait dépendre la science tout entière de formes déterminées de l'intelligence n'est que la moitié de l'histoire. L'autre moitié, c'est la croissance continue d'une pensée que sa richesse a faite toujours plus assurée d'elle-même. La solution positive dont l'histoire nous refuse la formule explicite, il ne se peut pas qu'elle ne la porte dans ses flancs; et nous apercevons même qu'elle était présente chez les créateurs des doctrines classiques, du jour où nous la dégageons de l'apparence de dogme universel et immuable dont ils s'étaient plu à la revêtir, léguant à leurs successeurs la superstition des « formes a 'priori » et « des faits généraux » qui, au xw" siècle, a paralysé la critique philosophique.

Nous le savons aujourd'hui : c'était une illusion de prétendre trouver, par une sorte de divination^ les sources où la science devait s'alimenter, et d'où les eaux iraient tomber dans un canal artificiellement creusé pour les recevoir. Le cours de la mathématique a la spontanéité, il offre les mille accidents d'un fleuve naturel. Pour avoir quelque chance de