Nouvelles annales de Mathématiques, 1897, p

LK l'ASSACK Ad NOMINALISME 359

LF, l'ASSAOK Alî NOMINALISME

212. Varithmélisalion de l'analyse a pour conséquence naturollo une intorprétalion arilhmélisle de la malhématique, mais (jui ditlere profondénienl de rarilhmélisme de Renouvier.

L'arilhmétisme chez Renouvier est une doctrine d'essence philosophique. L'arithmétique élémentaire n'y était pas seulement le type de la science claire et incontestable; elle possédait ce i)rivilège de révéler la forme d'intelligibilité que la philosophie a la tâche de projeter sur lunivcrs. Le nombre est la catégorie par excellence; le principe du nombre suffira pour trancher les problèmes jusque-là insolubles de la métaphysique, pour déterminer la structure du monde pris en soi, et presque pour prouver la nécessité d'une puissance créatrice.

L'éclat d'une telle lumière rendait obscures les autres parties de la mathématique. En partant des conditions réunies dans l'arithmétique pour la compréhension de la quantité, Renouvier était amené à ne plus regarder l'analyse infinitésimale comme relevant à proprement parler de la science de la quantité ; ce n'était qu'au prix d'un artifice, profitant de l'indétermination inhérente à ce qui est arbitraire et inassignable, qu'il pouvait substituer un rapport déterminé à ce qui, en soi, n'était pas susceptible de mesure. L'artifice pourra se justifier, du point de vue de l'artifice même, c'est-à-dire tant qu'on se meut dans un système de conventions et de fictions; mais, dès qu'on se rapproche de la réalité (et on est bien obligé de le faire pour en tirer quelque application), il apparaîtra comme une méthode d'approximation, dépourvue de l'exactitude rigoureuse qui avait fait le crédit de l'arithmétique.

L'arilhmétisation de l'analyse a mis fin à cette situation instable et précaire. Le calcul des nombres entiers et positifs sert encore de point de repère pour l'intelligence du calcul infinitésimal; mais ce n'est plus en vue de créer une opposition entre la représentation actuelle, à laquelle satisfait l'image sensible, et la représentation virtuelle et fictive; c'est afin de relier les opérations constitutives du calcul infinitésimal aux opérations proprement arithmétiques, de montrer comment l'exactitude et la rigueur des raisonnements arithmétiques se transmettent de proche en proche à toutes les disciplines de la mathématique abstraite. En d'autres termes, le passage de la réalité à la fiction qui s'opère dans la doctrine de Méray n'a pas la môme conséquence que dans le néo-criticisme, il ne rompt

plus avec le rythme normal de la science : « Les nombres entiers de 1 arithmétique élémentaire, sur lesquels roulent exclusivement en définitive toutes les opérations exigées par les applications numériques, sont aussi les seuls qui interviennent au fond des spéculations théoriques. Mais l'impossibilité fréquente de cer laines opérations troublerait gravement Funiformité désirable dans le mécanisme des transformations analvtiques; elle compliquerait les énoncés de restrictions continuelles si l'on ne tournait 1 obstacle en substituant aux nombres et aux opérations véritables des fictions pour lesquelles cette impossibilité ne .e présente jamais, et dV)ù, quand il le faut, on revient à la réalité sans aucun effort. Telle est en particulier, continue Mé'a 1 origine des fractions'. )) c;ueid;y,

g, c'est-à-dire 3 à diviser par o, n'est pas un nombre, puisquil n'y a pas de nombre qui multiplié par 5 donne 3; mais les deux nombres 3 et 5 sont susceptibles d'être réunis ensemble union que nous pourrons, s'il nous plaît, représenter par le symbole .. A cette forme on convient d'appliquer certaines

dvd'l.v ' ''''''^'''^''°"f' '^'^"^'' '"^' ^"^ ^«i« d'addition et d égalité qui régissent les nombres entiers, et telles que 3 et 3

puissent être mis à leur tour sous la forme f et f , telles aussi

quejes résultats concernant les expressions symboliques ^,

ou l soient identiques aux résultats obtenus sur les nombres véritables 3 et 3.

Le calcul des entiers positifs devient ainsi un cas particulier des combinaisons que 1 on a décidé d'appliquer aux e^n .^^^^^^^^ fracùonncares, et c'est par là que le calcul nouveau s 'inco pore

la" scTncT '^K "^^^T'^^l'-^' '' "^^"^"^ "^ ^'largissemenTd la science. « Bien que les diverses espèces analvtiques con-

dans des rapports tels, que tout calcul à exécuter .ur des nombres d une certaine espèce peut s'effectuer à 1 aide du calcu parallèle exécuté sur des nombres delespèce suivante ^'"> Cette loi de constitution permet de former de nouvelle quint

le. l^n:s%;Vad r^^^^^ ''''' '' ''^'^^ convenlnnelL

les signes de I addition et de la soustraction, on formera un calcul