LK PASSAGE AU NOMINALISMK

OÙ il n'y a plus de soustraction impossible, et dans lequel on fera rentrer le calcul des valeurs absolues : ce sera le calcul des valeurs (/ad/ i/iées ', d'où l'on passera par les procédés que nous avons indiqués au calcul des valeurs irrationnelles ou ima- (] inaires.

En résumé, l'arithmétique des enlicrs positifs a fourni le thème élémentaire. De là on assiste à un déroulement de variations qui déconcertent d'abord par leur complication et leur apparente irréalité, mais qui livrent le secret de leur harmonie dès qu'une expression convenable a marqué leur rapport au thème fondamental. Au contraste dialectique qui marquait chez Renouvier le passage du fini et du discontinu à l'infinitésimal et au continu, cette seconde forme de l'arithmétisme substitue l'élargissement progressif du rythme initial"-.

213. — Au point de vue purement technique le progrès est incontestable. La route de l'analyse est débarrassée des problèmes métaphysiques où des mathématiciens imprudents s'étaient jadis fourvoyés. Mais au point de vue théorique les difficultés paraissent plutôt évitées que résolues. On dira bien que l'existence de l'objet mathématique ne fait plus question ; mais il faut ajouter aussitôt que c'est pour deux raisons d'ordre opposé, suivant qu'on est dans le domaine des nombres entiers positifs ou qu'on est dans le domaine des nombres irrationnels, négatifs, imaginaires. Dans le premier des domaines, la question ne se posera pas, parce qu'on la suppose déjà résolue; les nombres arithmétiques sont des réalités données, comparables, comme le disait M. Molk, aux objets des sciences naturelles. Dans les autres domaines, la question ne se posera pas, parce qu'il n'y a pas lieu de la poser; au delà de l'arithmétique élémentaire les concepts de la science ne peuvent prétendre à aucune espèce d'objectivité : « Ils n'ont du nombre que le nom ; en réalité, ce sont de purs symboles-^ ».

Une théorie semblable interdirait de comprendre l'unité de cette science même dont on vient de constater qu'elle se manifeste pratiquement comme un système de combinaisons homogènes les unes par rapport aux autres. 11 est par suite inévitable qu'elle soulève devant la réflexion un problème nouveau. Ou la notion de nombre, correspondant soit à une forme de l'entende-

1. Riquier : De l'idée de nombre considérée comme fondement des sciences mathématiques. Revue de métaphysique, 1893, p. 3o0.

2. Voir l'exposition remarquable de la Généralisation arithmétique du nombre dans Couturat, De l'Infini mathématique, P partie, livre I.