ANALYSE ALGÉBRIQUE ET ANALYSE GÉOMÉTRIQUE

±[H. Ce i|ui nous inléicssc dans l'ébauche (Falgorithme (|iio Maïinoii a tracée, c'est que nous croyons y trouver un sentiment très rare de la ditïerence radicale qui existe entre la logique et la mathématique, dilTérence que risque de dissimuler l'usage de signes communs. Logique et niathémati(jue sont susceptibles (rex])osilion formelle; mais dans la logique ordinaire la forme se réfère à une matière qui lui est extérieure; ce (|ui fait la vérité de la proposition

Sacrale est homme n'est pas conservé dans la proposition écrite symboliquement

X est Y.

Les prémisses sont introduites dans le syllogisme, sous bénéfice d'une hypothèse préalable sur leur vérité ou sur leur fausseté; la conclusion est relative à la valeur de ces hypothèses, dont le contrôle échappe à la compétence du logicien. Au contraire, ce (jui fait que les conclusions du raisonnement mathématique sont susceptibles de vérité catégorique, c'est-à-dire, à proprement parler, de vérité, c'est que les propositions mathématiques n'ont pas d'autre matière que leur forme même. L'algèbre est capable de faire elle-même la police à l'intérieur de son domaine ; elle sépare des valeurs fausses les valeurs vraies, c'est-à-dire celles qui transforment l'équation en identité.

Telle est l'idée simple, mais forte, dont nous paraît s'inspirer le système logique de Maïmon. Pour lui, comme pour Kant, le type du jugement logique est analytique; il importe donc de mettre en évidence le caractère analytique du jugement, en indiquant expressément que le prédicat est déjà contenu dans le sujet. De là le symbolisme profond et naïf de Maïmon.

Il nous suffira d'indiquer la traduction de Barbara : + étant choisi comme signe de l'affirmation, x désignant n'importe quoi, et par suite étant équivalent à tout, et signifiant l'universalité, la vérité de tout b est a s'écrira abx-ha; la vérité de tout c est b s'inscrira abcx-habx; la vérité de la conclusion tout c est a s'offrira d'elle-même sous la forme : abcx-h a^. La

l. Maïmon, Versuch eincr neuen Logik oder Théorie des Denkens, Berlin, 1794, p. 92.

résolution des équations logiques a le même caractère de perfection que la résolution des équations algébriques, et Tœuvre d'élimination que le syllogisme accomplit est rendue ainsi manifeste; mais manifeste aussi l'œuvre d'appauvrissement qui en est la conséquence. La logique, pour se mouvoir dans la sphère fie la vérité, ne peut guère dépasser l'horizon étroit de l'évidence verbale; l'algèbre logique de Maïmon est viable au sens rigoureux du mot, elle n'est pas destinée à survivre parce qu'elle est nécessairement stérile.

219. — L'algorithme de Gergonne procède d'une vue inverse et complémentaire; il a pour base l'intuition géométrique. Les cercles d'Euler, au lieu d'être de simples traductions de propositions logiques, vont déterminer des relations initiales entre l'idée du sujet et l'idée du prédicat :

« Examinons, dit Gergonne, quelles sont les diverses circonstances dans lesquelles deux idées, comparées l'une à l'autre, peuvent se trouver relativement à leur étendue. Cette question revient évidemment à demander quelles sont les diverses sortes de circonstances dans lesquelles deux figures fermées quelconques, deux cercles, par exemple, tracés sur un même plan, peuvent se trouver l'un par rapport à l'autre; l'étendue de chaque cercle représentant ici, celle de chaque idée^ » De là, le tableau des relations suivantes :

1" L'exclusion @@ =h.

2" La sécance (s]@ =x.

3° V identité @ = i.

La contenance, étant susceptible d'inversion, s'exprime par deux relations inverses

A'' s est contenu dans p (^^ =c.

5° s contient p ^^^^.

Si on forme les combinaisons de ces cinq relations deux à deux, et si on y comprend la répétition de deux relations identiques, on obtiendra vingt-cinq combinaisons. On n'aura qu'à se demander dans quel cas la combinaison des deux prémisses permet de

1. Annales de Malhématuiues pures et appliquées, Nîmes, t. VIT, 1816-1817. p. i93.

poser dans la coii<;lusioii Inno (jiielcon(|iio des cinq relations. (Vesl ainsi i|ue si les prémisses sont toutes deux de la forme H, ou toutes deux de la l'orme X, la conclusion peut avoir les cinq Cormes que nous venons dénumérer, tandis que, si elles ont toutes deux la forme C ou la forme 3, une seule alternative est possible : la conclusion doit avoir la môme forme que les prémisses.

Les cadres de Gergonne sont plus facilement représentables que ceux d'Arislote, et les articulations du discours sautent immédiatement aux yeux; mais, à s'appuyer ainsi sur l'intuition, il arrive qu'on atteigne trop rapidement les limites du savoir. De fait, quand Gergonne a marqué les points de concordance entre son algorithme et la logique traditionnelle, il semble que sa propre recherche soit épuisée. D'autre part, les principes du raisonnement n'ont nullement été éclaircis. La ibrme traditionnelle ne réussit pas à justifier certains syllogismes de la troisième figure, parce qu'elle n'explicite pas la condition d'existence qui est nécessaire pour passer des prémisses à la conclusion; mais Gergonne ne se trouve pas dans une meilleure situation qu'Aristote; les considérations purement intuitives dont il part impliquent d'emblée qu'on est dans l'ordre de l'existence, et il n'est pas possible de discerner le cas où il faudrait, soit fournir la preuve, soit énoncer l'hypothèse, que la condition d'existence est effectivement remplie.

220, — Ainsi, de part et d'autre, la route est barrée. Si la logique doit posséder l'ampleur et la rigueur qui en feront une science comparable à la mathématique, il faut qu'une invention de génie lui permette de franchir la sphère où la retient l'imitation de la géométrie analytique.

Cette invention est due à Georges Boole, qui publia en 1847 : The mathematical analysis of Logic, being an essay towards a calciilus of dediictive reasoning; en 1854, An investigation of the Laws of the thought, on which are founded the mathematical théories of logic and probabilities^. Elle consiste avant tout dans l'introduction de deux constantes logiques par rapport auxquelles s'organise le système des relations logiques, de même que le système des relations géométriques s'organise

1. Cf. Liard. Les logiciens anglais contemporains, 1878, chap. v, p. 99 et suiv.

par rapport aux coordonnées choisies. La valeur logique de ces conslantes est. mise en relief par le symbole qui les exprime. L'une est 0, de telle façon que, si y désigne une classe quelconque d'objets, on ait, comme en algèbre,

0 X î/ ou 0// = 0 ;

l'autre est 1, de telle façon que Ton ail léquation formelle' :

IXf/ ou iy = y.

Il est facile de dégager la signification de ces symboles, en considérant la combinaison de classes qui constitue la multiplication logique. 0;/ désigne la classe formée par les éléments communs de 0 et de ?/; pour que le résultat de la multiplication donne 0 quel que soit y, il faut que la classe 0 désigne la classe nulle, le néant logique. De même, pour que iy désigne y quel que soit y, il faut que la combinaison de 1 avec y n'enlève jamais rien à l'extension de y, par conséquent qu'il représente l'ensemble de toutes les classes, l'univers logique.

Or, à l'aide du symbole 0 et du symbole 1, il sera possible de féconder les opérations élémentaires du calcul logique, de manière à franchir les bornes étroites de la combinatoire d'Aristote, et à étendre les ressources de la logique formelle.

Les opérations élémentaires entre les classes sont la multiplication et l'addition. La première, nous l'avons vu, retient d'un certain nombre de classes logiques leurs caractères communs ; elle est l'addition des compréhensions. Si x désigne la classe des mammifères, et y celle des animaux aquatiques, le produit xy désigne la classe des mammifères aquatiques. L'addition des extensions donne l'addition proprement logique, où il est supposé d'ailleurs que les classes ajoutées l'une à l'autre n'ont aucun caractère commun; l'addition de Boole est disjonctive. Si x désigne la classe des mammifères et y celle des poissons, la combinaison x-\-y désignera l'ensemble des classes mammifères et poissons.

Le signe — exprimera lopération inverse de l'addition logique, la soustraction. La soustraction permet d'obtenir la classe supplémentaire de toutes les classes que l'on considère. Si x désigne les hommes, 1 — x désignera les non-hommes. Le principe d'identité se traduira, sous la forme particulière du principe du tiers exclu, par l'équation :