Op. cit., p

Nous obtenons

d'où

f{x)=:f{i)x-hf{0){i-x).

Cette formule fournit le développement, Veœpansion^ âef{x). Par des procédés identiques on trouvera pour une fonction de deux symboles x et y, la formule suivante :

f{x,y) = r{l4)xy-^f{l,0)x{i-y)-^r{^,i)ii-x)y + /'(0,0)(l-x)(l-î/).

Les procédés d'expansion appportent à la logique formelle la fécondité qui lui manquait depuis Aristote; la rigueur lui viendra des procédés d'élimination qu'elle emprunte à l'algèbre.

Prenons l'exemple le plus simple ; constituons léquation correspondant à une définition, la définition de ïhomme comme animal raisonnable. Homme est x; animal est y; raisonnable est z; animal raisonnable est un produit logique ou yz; d'où

x = yz,

ou encore x — ;^7r=0. Si l'on soustrait de la classe des hommes celle des animaux raisonnables, on obtient la classe nulle.

Dès lors, pour obtenir le plein développement de xyz, nous devrons, former successivement les diverses combinaisons de ces symboles électifs, les divers constiluants: et nous devrons déterminer leurs coefficients en fonction de 1 et de 0. D'une part, les constituants sont

xyz

xy{i — z)

\. Op. cil., p. 72. Cf. LiarJ, op. cit., p. 117.

LOGIQl l-: DES l'IlOI'OSITlONS KT LOGIQUE DES IIELATIO.NS 377

D'aulrc part, à (•liaciui de ces consliluants, la fornic x — ;/ ^-0 fait con'es[)omlr(^ les coeriicienls suivants :

c'est-à-dire, (après élimination des ternies à coefficien 0), xy (1-r) -^x (1-//) z + cc (l-/y) (l-r)+ (l-/y) yz= 0. Celle somme, d'après les lois de l'addition, nélant nulle que si chacun des termes est nul, nous obtenons séparément ^ :

xy{i — z) = i) x{i — ij)z = 0 x{i-y){i-z) = 0 {l-x)yz = 0.

La théorie des équations logiques est donc fondée, en ce sens que de la relation primitive, qui identifiait la classe des hommes et la classe des animaux raisonnables, nous avons conclu la non existence des classes suivantes :

hommes animaux non raisonnables;

hommes non animaux raisonnables;

hommes non animaux non raisonnables;

non hommes animaux raisonnables.

« Chaque proposition primaire peut être ainsi résolue en une série de négations d'existence pour certaines classes définies de choses^ . »

Telles sont les idées maîtresses de celte logique symbolique des classes, à laquelle on devait demander plus tard de jouer un rôle décisif dans la philosophie des mathématiques.