LA TRADUCTION LOGIQUE DES MATHEMATIQUES

224. — Quelle répercussion la constitution de l'algèbre de la logique va-t-elle avoir sur la conception philosophique des mathématiques ?

Tout d'abord, on pourra songer à réunir dans un même corps de doctrine l'algèbre de la logique et l'algèbre de la mathématique, conçue elle-même dans toute sa généralité. Cette réunion sera entendue simplement comme une juxtaposition, qui ne préjuge en rien l'identité des deux disciplines. Il se peut, et il arrive, que le rapprochement des deux calculs ne serve qu'à faire éclater les dissemblances. Ainsi, dans le Traité d'Algèbre universelle ou il se propose d'étudier tous les types de déduction formelle, M. Whitehead dislingue ' des algèbres mathématiques en général où

a -i-a^'ia,

l'Algèbre de la logique symbolique, ou algèbre non numérique^ qui a pour loi spéciale de l'addition :

225. — Mais la juxtaposition de la logique et des mathématiques peut se présenter sous un jour nouveau : après avoir fait profiter la logique formelle des progrès que permet l'introduction de l'algorithme emprunté aux mathématiques, on essaiera, par une sorte de choc en retour, de l'aii'e profiter la mathématique des progrès nouveaux que la logique a réalisés en dépassant son modèle, en poussant plus loin que la mathématique le souci d'énumérer exactement les éléments et les conditions de la démonstration. Alors il y aurait lieu d'exposer tout le contenu des difïérentes disciplines mathématiques dans le langage symbolique adopté par les disciples de Boole.

Cette œuvre considérable, l'école italienne a réussi à l'accomplir, en suivant les principes de notation proposés par M. Peano -;

1. Treatise of universal Algebra, voL I, Cambridge, 1898. p. 22 et 35. Cf. Gouturat. Revue de niélaphysique, 1900, p. 331.

2. Notations de logique mathématique, Turin, 1894. La Rivista di matematica a publié, eu 1895, la première édition du Formulaire de Mathématiques, due à la collaboration de savants tels que Burali-Forti, Vailali, Vivanti. La logique mathématique de Peano a été exposée par Vailali et par Gouturat dans la Revue de métaphysique, 1899, p. 94 et 616 et suiv.

LA THADICTION LOGIQn: DKS iMATHKMATIQUES 381

et l'œuvre est féconde, nécrire ainsi les malhématiqucs, c'est en réalité les repenser'. C'est donner à Tcspril pleine conscience de tout ce (|u"il a. souvent sans le savoir, enf,'-af^é dans son propre travail, c'est faire apparaître les formes identiques de raisonnements qui ne dilTéraient que par leur application, c'est révéler aussi les postulats spécifiques qui ont donné naissance à un système consistant de déductions : « La logique mathématique, écrit M. Peano, représente avec le plus petit nombre de conventions toutes les propositions de mathématique, même celles très compliquées, dont la traduction en langage ordinaire serait fatigante. Mais elle ne se réduit pas simplement à une écriture symbolique abrégée, à une espèce de tachygraphic; elle permet d'étudier les lois de ces signes, et les transformations des propositions-. »

Entantqu'elle peut présenter comme organum le Formulaire, sans cesse étendu et perfectionné par le labeur de iM. Peano et de ses collaborateurs, la logistique existe, et elle est à l'abri de toute contestation sérieuse. C'est une méthode didactique pour la science, heuristique pour l'épistémologie ; elle traite des diverses formes de la logique ou de la mathématique, mais sans décider de l'identité de leur contenu; elle transcrit, en les ramenant à leur expression la plus simple et la plus claire, les principes de la science ; mais elle n'a pas la prétention d'en rendre compte. Elle offre au philosophe une matière dont elle a poussé l'élaboration aussi loin que possible; mais elle demeure dans le domaine de la science positive : c Ce n'est pas un des moindres mérites du symbolisme logique adopté par Peano et ses collaborateurs, écrit l'un des principaux d'entre eux, que de rendre possible renonciation des prémisses fondamentales de chaque branche des mathématiques sous une forme extrêmement réduite et simplifiée, dépouillée de tout élément accessoire, et susceptible, par cela même, d'assum.er les interprétations les plus variées et les plus hétérogènes''. »

226. — En ce sens, le problème de la philosophie mathématique serait au delà de la méthode logistique ; mais il pourra trouver sa solution dans un système logistique où les notions, jusque-là rapprochées par l'usage d'un algorithme commun,