Notations, % 8, p

2. Sur la définition de la limite cViine fonction. Exercice de logique mathématique, .American journal of mathematics, t. XVII, ISO.j, p. 07.

3. Vailati, De quelques caractères du mouvement philosophique contemporain en Italie. La Revue du mois, 1907, t. 1, p. 173, et Scritti di G. Vailati, Leipzig et Florence, 1911, p. 761.

sont désormais fondues dans l'unité d'une même synthèse. Les propositions de la mathématique sont ramenées aux propositions de la log-ique, de telle sorte que pour justifier la vérité de la mathématique, il n'y aurait plus besoin de faire appel à des principes spécifiques; la théorie de la logique étant faite, la théorie de la mathématique se trouverait faite du môme coup.

Ce passage de la logistique méthode à la logistique système, c'est M. Frege qui l'a opéré le premier ^ Il constitue lui-même son algorithme symbolique, et il l'appuie sur une refonte des idées fondamentale de jugement, de concept, de fonction et de relation -. D'une part, il a rendu à la logique toute sa portée philosophique en insistant sur la distinction de ce que la pensée signifie pour nous {Sinn), et de ce qu'elle dénote de la réalité [BecleiUiing) : il y a autre chose dans un jugement que l'affirmation, autre chose aussi que la représentation de son contenu, il y a la valeur de vérité qui lui appartient. D'autre part, à la logique ainsi envisagée, M. Frege relie la mathématique par l'analyse originale et profonde qu'il donne de la proposition, et qui vaut aussi bien pour cette assertion : 1 < 2, que pour cette autre : César a conquis la Gaule. Il supprime successivement, en les remplaçant par le signe ( ), les termes César et Gaule, 1 et 2 •.la partie ainsi remplacée est une sorte de variable, elle est Y argument; l'autre sera, par rapport à cette variable, une fonction ^ Le concept est une fonction simple : ( ) a conquis la Gaule, ou bien ( ) < 2. La relation est une fonction à deux valences qui a besoin de deux arguments pour être saturée : ( ) a conquis ( ); ou ( ) < ( ).

Nous n'aurons pas à suivre, chez M. Frege lui-même, les conséquences qu'entraînent cette réforme de la logique et ce rapprochement avec les mathématiques. Nous les retrouverons, pour ce qu'elles ont d'essentiel, chez ^I. Russell qui a été amené, d'une façon indépendante, à des conclusions du même ordre. Seulement, au lieu de créer sur nouveaux frais un algorithme original qui court le risque de n'être manié que par son inventeur, M. Russell s'est donné cet avantage de prendre pour base les résultats atteints déjà par les mathématiciens et les logisliciens. Il y aurait certes injustice à ne pas marquer la placé de M. Frege dans l'histoire; mais il faut ajouter que son œuvre est

1. Begriffsschrift. Eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des rcinen Denkens, Halle, 1879 et Grundlagen der Arithmetik, einc logisch-mathematische Unstersuchimg ûber den Begriff der Zahl, Breslau, 1884.

2. Grimdgesctze der Arilhmetik begriffsschriftiich abgeleitel, t. 1., lena 18U3, p. x.

3. Begriffsschrifl, p. 16, in Russell, The principles of malhematics, p. 505.

LH TUANSl'INl ET LK CONTINU 383

encore à certains éi^ai-ds l'œuvre d'un précurseur. La philosophie mathéma tique qui doit ôtre ici l'objet de notre étude, est celle qui a été exposée par M. Russell dans le premier volume de ses Principles of malhemalics. C^elte philosophie reçoit, elle enveloi^pe et VAlgèhre de la logique, au point où lavait portée; l'ouvrage magistral de Schroder, et la mise en forme symbolique des mathématiques, que M. Peano avait constituée; elle y joint enfin, pour les rapprocher et pour les dominer, la Théorie des ensembles de M. Georg Cantor'.

LE THANSFINI ET LE CONTLXU

227. — De la théorie des ensembles, nous nous bornerons à détacher les traits caractéristiques qui nous font apercevoir comment les mathématiciens ont été au-devant des logiciens, et ont eux-mêmes élaboré les notions qui ont servi de moyen terme entre l'algèbre de la logique et la philosophie logistique des mathématiques. Il est essentiel à notre but de bien établir d'abord que ces notions ne sont pas des constructions dialectiques, qu'elles ont leur racine dans la technique de l'analyse. C'est pourquoi nous commencerons par rappeler certaines idées présentées par Paul du Bois-Reymond dans sa Théorie générale des fonctions (1882), et qui nous font assister à l'élaboration analytique de la notion de transfini.

Du Bois-Reymond considère l'analyse comme comportant une théorie spéciale des fonctions et une tliéorie générale. « La première, en étudiant d'une manière très générale les fonctions des variables complexes, a pour but de présenter des fonctions de propriétés déterminées, et d'étudier la nature de grandes classes de transcendantes, en particulier, de celles qui ont des relations avec les fonctions algébriques". » C'est l'analyse de Weierstrass et de Méray, celle qui peut se constituer sur la base du nombre entier.

Dans la théorie générale, au contraire, il n'y a plus lieu d'imposer aucune restriction à l'idée de fonction; par exemple, et pour insister sur le point que nous avons à retenir dans les travaux de du Bois-Reymond, on y étudiera « la condition commune de convergence et de divergence des différentes opéralions infinies «.

1. Cf. U importance philosophique de la logistique, Revue de métaphysique, 1911, p. 280.