The principles, §71, p

2. § 101, p. 102, cf. Frege, Grundgesetze der Arithmetik begrisffchriftlich abgeleitet, t. II, Jena. 1903, Nachwort, p. 253.

3. On some difjiculties in the theory of transfinitc numbers and order types, Proceedings of the Loadon mathematical society, t. IV, part. 1, 1906, p. 38 et suiv.

4. Les paradoxes de la logique, Revue de métaphysique, 1906, p. 628.

La comparaison est assurément ingénieuse; peut-être M. Russell ne Ta-t-il pas poussée assez loin pour tirer tout l'enseignement qu'elle devrait comporter. Deux problèmes en effet étaient impliqués dans la notion d'infinitésimal : l'un relatif aux opérations analytiques, l'autre à l'interprétation philosophique de ces opérations. Lélimination de l'infinitésimal ne change rien aux solutions scientifiques; tandis qu'elle emporte avec soi une série de doctrines, ou de problèmes, d'ordre métaphysique.

N'en sera-t-il pas exactement de même pour la notion de classe? Deux destinées sont ici en jeu : la destinée de la logique symbolique qu'Aristote avait réussi à constituer sinon en science positive du moins en technique autonome, la destinée du réalisme ontologique où l'on a cru apercevoir la base d'une philosophie universelle. Les deux destinées se sont rencontrées au moyen âge; un moment on a pu croire qu'elles allaient de nouveau se trouver réunies : « Le fait que toutes les mathématiques appartiennent à la logique symbolique est une des plus grandes découvertes de notre époque ; et une fois ce fait établi, l'étude des principes des mathématiques ne consiste plus que dans l'analyse de la logique symbolique elle-même *. »

A l'épreuve de l'expérience, la liaison factice des deux problèmes s'est évanouie. La logique symbolique est capable de se développer pour son compte, et avec d'autant plus de succès quelle conformera de plus près ses méthodes aux méthodes proprement mathématiques. Mais qu'en échange elle éclaircisse jamais les principes des mathématiques, c'est une illusion qu'il a fallu abandonner. L'illusion était fondée sur le postulat réaliste qui par une tradition séculaire est inconsciemment associé à la position de la logique formelle ; or, ce postulat s'est révélé une raine d'embarras et de contradictions tels que la philosophie des mathématiques n'en avait jamais connu.

245. — Une semblable conclusion pourrait paraître brutale et sommaire, et nous hésiterions à la formuler si elle n'était confirmée par M. Russell lui-même.

Au coui*s de la controverse, M. Poincaré avait suggéré que l'échec de la philosophie logistique tenait peut-être à ce qu'elle avait voulu étendre au delà de toute détermination finie la notion de classe; c'est « la croyance à l'existence de l'infini actuel » qui a engendré la contradiction. « Le mot tous a un sens bien net quand il s'agit d'un nombre fini d'objets; pour