DÉDUCTION REGRESSIVE ET DÉDUCTION PROGRESSIVE

251. — Nous avons insisté sur cette formule; car elle permet de comprendre combien sont illusoires les difficultés que le réalisme de M. Russell avait accumulées à l'origine de la philosophie mathématique. La mécanique n'a pas besoin de rencontrer devant elle une série de moments ou un système de points, tel que chacun des termes soit doué par lui-même d'une existence absolue, antérieurement à la formation de la série ou du système. Au contraire, la constitution du temps et de l'espace s'accomplit elîeclivement à mesure que la mécanique élargit l'horizon de ses recherches, qu'elle rattache à un moment plus reculé du temps, à un point plus éloigné de l'espace, la détermination des mouvements universels.

Rien dans la science positive ne nous autorise donc à oublier le précepte que Newton lui-môme a formulé au nom de la « philosophie expérimentale », que Lavoisier a énoncé de nouveau à l'heure où la chimie s'organisait définitivement : la déduction progressive qui procède des idées premières, termes généraux ou natures simples, n'a de valeur et de portée qu'en corrélation avec la déduction régressive qui conduit à ces idées élémentaires ^

C'est uniquement par suite d'un préjugé métaphysique que la déduction progressive a pu être entendue dans un autre sens, dans le sens d'une synthèse qui se détacherait de l'analyse préalable, qui se poserait pour elle-même et dans l'absolu. Par cette prétention, en effet, on se flattait d'échapper à la restriction que le savant faisait peser sur sa construction de l'univers, de satisfaire à l'idéal logique ou ontologique d'une déduction absolue. Ainsi, la déduction régressive a permis de généraliser l'idée de dimension géométrique et de passer des trois dimensions, dont l'idée est suggérée par l'intuition, au concept

1. « Nous nous contenterons, disait Lavoisier, de regarder ici comme simples toutes les substances que nous ne pouvons pas décomposer, tout ce que nous obtenons en dernier résultat par l'analyse chimique. » Mémoire sur la nécessité de réformer et de perfectionner la nomenclature de la Chimie (1787), Œuvres, t. V, 1892, p. 361, cité par Duhem, La notion de mixte, Revue de philosophie, 1" année, 1901, p. 169.

abstrait de n dimensions. Une fois arrivée à ce concept, la philosophie logistique vise à le rendre indépendant de l'application proprement géométrique qui en est la raison d'être. Par exemple, si Ton dresse la liste des postulats nécessaires pour l'analyse d'un espace projectif d'un nombre infini de dimensions, espace projectif absolu suivant l'expression de M. Pieri, on constate qu'on a besoin de 17 postulats; et comme il en faut 19 pour définir l'espace projectif à trois dimensions, on en conclut avec M. Gouturat « qu'au point de vue logique celui-ci est moins simple que celui-là ' ».

De ce point de vue encore : « on pourrait presque dire que la théorie des nombres infinis est plus simple que celle des nombres finis, puisqu'elle n'a pas besoin, comme celle-ci, du principe d'induction, et qu'on peut l'établir sans passer par la théorie des nombres finis ^ ». Mais sous cette simplicité apparente se dissimulent des difficultés que le développement de la théorie des ensembles a eu pour effet de manifester. Pour fonder « l'Arithmétique générale où l'on définit la somme, le produit et la puissance des nombres cardinaux, finis ou infinis* », un postulat est « indispensable », celui qu'a explicité M. Zermelo en 1904 : « Étant donnée une classe de classes exclusives non nulles, on peut extraire un élément de chacune d'elles *^. » Tant que le nombre des classes est fini, la légitimité de l'opération est intuitivement évidente; pour un nombre infini de classes, elle résiste à toute tentative de démonstration.

Oue ce soit donc dans le domaine de la mécanique rationnelle, de la géométrie ou de l'analyse, nous retrouvons une même idée à la source de la métaphysique que le réalisme logistique a superposée à la mathématique : l'idée d'une déduction progressive capable de se conférer à elle-même une valeur absolue; et cette idée est la raison profonde des contradictions que le