Revue de métaphysique, 1911, p

LA SOLUTION DK L « EPIMEMDK » 423

aucune fonction se rapportant au type consi(l<''r6 dans son ensemble ' ». Les fonctions qui prennent place dans une semblable hiérarchie sont appelées fondions prédicalives : elles se définissent comme étant de Tordre immédiatement plus élevé que l'ordre de leur argument, c'est-à-dire comme étant « de Tordre le plus petit quelles soient obligées d'avoir pour posséder cet argument » ^. Or, peut-on affirmer que pour toute fonction propositionnelle ^.t, il y aura une fonction prédicative formellement équivalente, c'est-à-dire une fonction prédicative vraie quand ox est vraie, et fausse quand elle est fausse ^? A priori, nous n'en savons absolument rien. Mais s'il apparaît aux logisticiens qu'il est nécessaire de poser une pareille affirmation pour « que les mathématiques soient possibles* », alors on l'introduira dans les principes de la logique symbolique, comme un axiome : axiome de réductibililé, qui aura toutes chances d'être vrai.

Au contraire, il n'y a pas d'opération plus facile à concevoir que la multiplication logique. Mais est-il légitime de choisir dans un ensemble infini de classes un membre qui représente chacune d'elles? A cette question, nous l'avons vu ^ aucune évidence immédiate, aucune démonstration solide n'a pu fournir de réponse. Tout ce que nous pouvons dire, c'est que la légitimité d'une semblable opération a été postulée par M. Whitehead "^ afin d'identifier les deux définitions de l'infini — Time négative : le nombre infini n'est pas formé par le principe d'induction complète « qui caractérise les nombres finis » — l'autre positive : le nombre infini est l'ensemble équivalent à une partie intégrante de lui-même. Seulement Tidentificalion de ces deux définitions est elle-même un problème. En 1905, M. Couturat posait bien en principe qu' « on ne peut pas admettre deux définitions différentes de l'infini". » Mais en 1911, M. Russell reconnaît que les « deux définitions ne sont pas forcément identiques »; et il ajoute qu' « il n'y a d'ailleurs aucune raison de les identifier *. »

Du plan de l'hypothèse susceptible d'être vérifiée par ses conséquences et d'acquérir ainsi une valeur scientifique, l'axiome

1. La théorie des types logiques, in Revue de métaphysique, 1910, p. 281.