Art. cit.. Revue de Métaphysique, 1903, p

l'intuition dans les mathématiques classiques 437

a priori, olle (.Ircèlcrail une l'onction ([ui, sous son appareil nialliémati(|ue, recouvre une léalité [)ur(MncnL qualilalive, qui exprime la marche profonde des choses, la variation continue et, peut-être mùme, la destinée linale de l'univers'.

Section B. — L'orientation des mathématiques modernes.

t^o. — Nous n'avons pas encore abordé, dans notre exposé, la considération de la mathématique, et déjà rintuitionismc s'est présenté à nous sous deux aspects divers. On avait pu croire qu'il abandonnait la science au scienlisme, et qu'il se retranchait dans la région transcendante de Vexpérience religieuse ou du rêve esthétique. Mais par la force même de l'élan initial, il devait revenir sur ces concessions apparentes, et descendre sur le terrain de la science pour y confronter ses procédés avec ceux qu'il attribue à l'inlellig-ence. A la réaction contre la science, qui était la forme sinon la plus ancienne du moins la plus extérieure de la doctrine, se substitue l'opposition entre deux interprétations de la science elle-même : l'une, prisonnière de la généralité logique et du préjugé mécaniste, l'autre attentive à la spécificité de l'objet sur lequel porte chaque discipline, et soucieuse d'adapter les procédés d'investigation aux caractères propres de l'objet.

Sans avoir à juger dès maintenant le principe du mouvement intuitioniste, et quelque parti que l'on doive prendre sur telle ou telle des thèses qui, en sociologie ou en psychologie, en biologie ou en physique, ont pu se réclamer de la méthode intuitive, il est manifeste que cette méthode a fait passer à travers les différentes sciences un souffle d'affranchissement et de fécondité.

Les mathématiques, à leur tour, ne seraient-elles pas susceptibles d'être traversées par un courant semblable? La notion d'intuition mathématique, qui en un sens est aussi vieille que la réflexion sur la science, n'a-t-elle pas dû à la poussée victorieuse de la philosophie intuitioniste de subir, ou plus exactement d'achever, une transformation décisive?

l'intlition dans les mathématiques classiques

266. — Il convient de rappeler en quelques mots les divers modes d'intuition que la mathématique classique avait rencontrés.

1. Meyerson, Identité et réalité, 1908, p. 262, et passim; Brunhes, La dégradation de l'énergie, 1908, p. .333 et suiv.

L'intuition, dans sa signification originelle, est l'appréhension d'un objet par les yeux. La connaissance mathématique sera intuitive, comme est la connaissance sensible, en tant qu'elle portera sur des notions qui s'accompagnent d'images. Ainsi la géométrie, telle que les Grecs l'ont constituée, est une science intuitive; les mathématiciens qui ont employé la représentation géométrique pour résoudre des problèmes de mathématique abstraite, depuis les inventeurs de la géométrie analytique jusqu'aux Riemann et aux Sophus Lie, sont regardés, suivant l'acception ordinaire du mot, comme des intuitifs.

Mais voici une extension notable dans cette acception : le recours aux données de l'intuition ne se produit plus seulement pour faciliter le raisonnement; il est, à défaut et en l'attente de la démonstration, un instrument de découverte : « quand on peut substituer au volume proposé un volume liquide équivalent, on établit immédialementla comparaison de deux volumes en profitant de la propriété que présentent les masses liquides, de pouvoir prendre aisément toutes les formes qu'on veut leur donner' ». De même, la tradition veut que Galilée ait trouvé la formule de quadrature de la cycloïde, en pesant des plaques de métal, d'une épaisseur aussi égale que possible, et qui offraient comme la réalisation concrète de l'aire de la cycloïde ordinaire et de l'aire du cercle générateur-.

Dans le même ordre d'idées, la découverte récente du Traité de la Méthode d'Archiraède a souligné l'importance capitale des intuitions mécaniques dans l'établissement du calcul intégral. A la Renaissance la doctrine des indivisibles se rattache à la dynamique de Galilée. Toutefois, en se constituant comme théorie purement mathématique, cette doctrine confère à l'intuition un rôle qui, à certains égards, est nouveau. Ce qui la caractérise en efïet, nous l'avons vu, c'est qu'on y pratique des intégrations véritables, sans être cependant en possession de l'élément fondamental qui permettrait de donner à l'opération de l'intégration sa signification exacte. On se passe de la différenciation par l'emploi d'images géométriques; or, ces images géométriques ne peuvent être exactes, puisque l'indivisible a cette double propriété de pouvoir à la fois être traité comme un élément linéaire ou superficiel et de composer des surfaces dans le premier cas, des volumes dans le second. A prendre les choses en toute rigueur il y aurait contradiction; mais la con-

1. Comte, Cours de Philosophie positive, 10* leçon, t. I, 1830, p. 360.