Vide supra

soit des solutions algébriques qu'il lui reste à traduire dans le domaine de la géométrie, soit des solutions géométriques dont il peut ne pas posséder encore la formule analytique. Mais ce sont là des accidents dans Tordre de l'invention, ou encore des particularités de l'exposition qui oblige à choisir un langage déterminé. Tant qu'on maintient le principe du parallélisme, toute proposition établie en algèbre doit avoir sa contre-partie en géométrie, et la réciproque sera également vraie.

CRITIQUE DES PRINCIPES u A PRIORI »

268. — Si le principe du parallélisme, et avec lui la nécessité de justifier toute découverte mathématique au moyen de principes a priori, correspond à r« âge d'or » de la mathématique, il devra être remis en question lorsque la science, ayant parcouru tout l'horizon des théories classiques, s'est interrogée sur l'orientation des recherches futures. C'est par l'examen des cas-li})iites, par l'étude des frontières, qu'elle s'est efforcée d'ébranler la muraille des anciens principes et d'ouvrir la brèche par où s'opéreraient le renouvellement des méthodes et l'extension de la science. Mais alors aussi, on ne peut plus affirmer d'avance que le procédé original, qui a permis d'explorer un domaine inconnu, soit condamné à disparaître dans une réorganisation définitive, modelée sur un type général de pensée logique ou mathématique. Il est possible au contraire que quelque chose subsiste toujours de la façon dont les problèmes ont été d'abord posés et dont les solutions ont été obtenues, qu'il y ait là comme une empreinte spécifique, marquant du sceau du génie dont elle est née, telle ou telle partie de la science. L'intuition réapparaîtrait donc, aA^ec le sens précis que lui donnent les philosophes modernes, désignant une méthode appropriée à la spécificité de l'objet, apportant avec elle la preuve de son exactitude tout en étant irréductible aux formes de la déduction proprement logique.

Pour fixer ce moment critique où le progrès de la science entre en conflit avec la nécessité d'une justification a priori, nous nous reporterons à deux principes qui, l'un dans le domaine de la géométrie concrète, l'autre dans le domaine de l'analyse abstraite, témoignent d'une même exigence philosophique : principe de continuité ou de permanence de Poncelet, principe de permanence des lois formelles de Hankel.

269. — « Poncelet, dit M. Poincaré, était l'un des esprits les plus intuitifs de ce siècle, il l'était avec passion, presque avec

CHITIQIE DES PRINCIPES « A l'RIOHI » 441

ostentation; il regardait le principe de continuité comme une de ses conceptions les plus hardies, et cependant ce principe ne reposait pas sur le témoignage des sens; c'était plutôt contredire ce témoignage ipie d'assimiler Thyperbole à l'ellipse*.» En fait, Poncelet occupe, par rapport à l'intuition, une position semblable à celle de Gavalieri; la métlwde projective demande, comme la méthode des indivisibles, que l'on prolonge les propriétés suggérées parla représentation intuitive là même où la représentation proprement dite cesse d'avoir lieu, et que l'on substitue aux données réelles de l'intuition une imagination idéale qui s'appellera, par extension, intuition. Du point de vue du parallélisme cartésien ou de la critique kantienne où toute intuition implique une représentation spatiale, l'intuition de Poncelet serait, suivant une expression que nous empruntons à M. 'Winter, Iransintiiitiue -.

Ce caractère singulier de la géométrie projective, qui la rend transcendante par rapport à la géométrie intuitive ordinaire, Poncelet l'a reconnu, lorsqu'il a fait remonter aux généralisations purement analytiques l'origine de ses spéculations sur l'espace ^ Mais, obéissant au préjugé séculaire que la déduction va du général au particulier, il a cru qu'il était nécessaire, pour atteindre la rigueur dans l'exposition, de dissimuler la genèse psychologique de ses découvertes, et de les faire dériver d'un principe qui aurait une portée universelle. Intervertissant alors le sens de ses démarches originales, il les a subordonnées à l'expression de ce qu'il appelle, comme nous avons eu l'occasion de le rappeler : le principe de permanence ou continuité indéfinie des lois mathématiques des grandeurs variables par succession insensible''. Et précisément, nous l'avons vu, c'est en invoquant a priori cet axiome de continuité comme loi universelle de l'esprit et de la nature, que Poncelet s'exposait aux objections que Cauchy devait présenter et qui sont décisives.

Le principe de continuité n'a pas une valeur générale et absolue; pourtant les applications que Poncelet en a faites sont exactes et fécondes. Dès lors, ce qu'il faut pour dégager la portée véritable de la méthode projective, c'est intervertir à

1. Du rôle de l'intuition et de la logique en mathématiques. Deuxième congrès international des mathématiciens (Paris, 1900), 1902, p. 122 et La Valear de la Science, p. 22.

2. Note sur Vintuition en mathématiques, Congrès de philosophie (Heidelberg, 1908), Revue de métaphysique, 1908, p. 922 et Bericht, p. 451.