Applications, t. II, 1864, p

nouveau cette inversion de sens entre rinvenlion et l'exposition, ou plus simplement résister à la tyrannie des formules logiques qui prétend imposer cette inversion de sens, et présenter dans leur ordre naturel les démarches grâce auxquelles la science s'est constituée. En appelant même intuition cet ordre de la création intellectuelle, par opposition à Tordre du discours parfait, on est fidèle au langage que les diverses disciplines scientifiques ont successivement adopté, et on justifie, semblet-il, la réalité de l'intuition mathématique.

270. — C'est à une conclusion analogue que nous paraît conduire révolution de l'analyse pure. Le progrès serait ici une extension croissante des opérations qui ont été d'abord effectuées sur les nombres entiers. Supposez qu'on ait constitué le domaine des nombres entiers, en établissant les définitions fondamentales de l'addition et de l'égalité, en démontrant que grâce à ces définitions il est possible de conférer à ces nombres les propriétés d'associativité, de commutativité, de distributivite; on passera du domaine primitif au domaine des nombres fractionnaires, ou négatifs, ou imaginaires, ou irrationnels, en définissant les combinaisons numériques qui correspondent à ces expressions nouvelles, en démontrant que ces combinaisons sont susceptibles de recevoir les propriétés fondamentales des opérations élémentaires en arithmétique.

Le développement de la mathématique abstraite serait donc orienté dans le sens qui va du particulier au général, c'est-àdire dans le sens inverse de la logique des classes. De là, pour satisfaire aux exigences de Tordre traditionnel, la tentative de subsumer l'extension croissante des relations arithmétiques sous un principe universel qui légitime ces généralisations successives; et tel est en effet le rôle du principe de permanence des lois formelles ou des formes opératoires, connu sous le nom de principe de Hankel : « Quand deux formes exprimées par les signes généraux de V arithmétique universelle sont équivalentes, elles doivent demeurer encore équivalentes, quand les signes cessent de désigner des grandeur simples, et que les opérations reçoivent un contenu quelconque '. »

Or ce principe, sur lequel il aurait voulu « régler tous ses pas », Hankel reconnaît immédiatement qu'il ne peut pas être appliqué sans réserve et dans toute son universalité. Il convient en effet de faire la part d'algorithmes, comme ceux de Grassmann

1. Hankel, Vorlesungen iiber die complexen Zahlenund ihre Fanclionen, Leipzig, 1867, p. 11.

L INTl'ITlON CHEZ LES MATHliMATICIENS CONTEMPORAINS 443

OU (le W. l\. Ilamillon, dans lesciuels la propriôlô de coinmiilativilé n'esl pas conservée pour la mulliplicalion, dans lesquels on a