AB = — BA

Kl ce sont précisément de tels algorithmes qui, dans l'ouvrage ni("^ine de Ilankcl, marquent le plus haut développement de cette arilhmélique universelle, de cette spécieuse, dont il veut reprendre la tradition.

La formule de Hankel sera donc, si l'on veut, une indication de tendance, une prescription de méthode, nullement un principe sur lequel on puisse faire fond pour constituer le système de la science. Avec quelque précaution qu'on en rédige l'énoncé, on n'évitera pas ce fait que, dans le passage d'une espèce numérique à une autre, des propositions apparaissent qui sont incompatibles avec le système précédent. Par exemple, comme le fait observer M. Peano ', l'inégalité

est vraie pour les nombres absolus, fausse pour les nombres qualifiés. De même, comment comprendre dans une même loi de symbolisme opératoire l'addition métrique des segments dans la géométrie ordinaire, et l'addition vectorielle du calcul géométrique où l'on a, quelle que soit la direction de AB et de BC dans le plan,

AB + BG r= AG?

l'intuition chez les mathématiciens contemporains

271. — La critique des principes de permanence marque un tournant décisif dans l'histoire de la science. Sans dépasser le terrain de la technique, en écartant pour le moment toute préoccupation d'interprétation philosophique, nous allons assister à un renversement de l'image que la mathématique classique avait donnée d'elle-même.

Suivant cette image, la mathématique est capable de dérouler à l'infini le système de ses combinaisons; mais ce système repose sur des principes dont il est facile à la fois de déterminer le nombre et d'épuiser la nature, de telle sorte que tout l'avenir de la déduction scientifique, si loin que le génie des inventeurs paraisse en prolonger la puissance, est inclus à l'avance dans le

1. Principio de permanentia, ]\e\\.ie de mathématiques (fliuisia di Mateniatica) Turin, t. VIII, p. 84.

tableau exact des axiomes ou des catégories. Descaries, ayant ramené à leur maximum de clarté et de distinction la notion d'équation et la notion d'étendue, ayant posé en principe leur convenance mutuelle et leur intime corrélation, a établi les bases et a prescrit les limites de la science humaine. Leibniz, dans sa conception du « progrès ordonné », ou principe de continuité, trouve la justification à la fois d'une analyse abstraite où une infinité de termes dérivent de l'unité d'une loi de série, et d'une représentation géométrique où l'on passe d'un point à un point infiniment voisin.

Comment tiendrait-on aujourd'hui un pareil langage? les spéculations philosophiques qui portent sur l'espace des géomètres sans autre spécification, qu'elles en fassent d'ailleurs une réalité ou une idée pure ou une forme d'intuition, ont perdu le contact avec la science actuelle. L'espace métrique euclidien, non seulement parce qu'il est euclidien, mais aussi parce qu'il est métrique, n'est plus qu'un type particulier à côté d'autres types; il est devenu, si l'on ose risquer cette expression paradoxale qui a le mérite de bien marquer la violence de l'effort accompli, un point de vue sur l'espace. Nous avons d'ailleurs déjà fait allusion à la multiplicité des points de vue qui se sont successivement révélés, depuis la géométrie de situation qui ne retient que l'ordre des positions mutuelles jusqu'à chacune des géométries « imaginaires » qui peuvent être établies sur l'élimination hypothétique de l'un des postulats explicites ou implicites du système euclidien, fût-ce de Vaxiome dit de continuité^

D'autre part, pour suivre l'orientation moderne de l'analyse devenue discipline autonome, il ne suffit pas de se référer aux cadres les plus généraux, par exemple à ceux que la notion d'ensemble peut fournir. Autre chose est de décrire le champ que la science peut cultiver, autre chose de délimiter le terrain où elle pourra récolter, surtout de fixer le moyen qui permettra de l'écolter.

A cet égard, rien n'est caractéristique comme les réflexions qu'on a relevées chez un Hermite ou chez un Weierstrass. Hermite, analyste de race qui se sent mal à l'aise dans le domaine de la représentation exclusivement géométrique-, voit pourtant dans l'analyse une science d'objets qui existent eu dehors de