Voir Cours de Philosophie positive, t. I, 1830, p

3. Gournot, De l'origine et des limites de la Correspondance entre l'Algèbre et la Géométrie, 1847, p. 371.

4. Elementar-mathematik vom hôheren Standpunkte aus, I, Leipzig, 1908. Excurs liber die moderne Entwicklung und den Aufbau der Mathematik ûberhaupt, p. 180 et suiv.

un problème que nous croyons d'une importance décisive pour la spéculalion philosophique. Jusque-là, en effet, lorsque la doctrine de l'intuition faisait valoir les droits d'une réalité supérieure et montrait la nécessité d y adapter une méthode spéciale, elle pouvait se contenter d'opposer une science complexe à une science plus simple. Il n'en est plus de même, une fois qu'elle s'est étendue à la mathématique et qu'elle a réussi à la distinguer radicalement de la logique formelle. En effet la raison de cette distinction, c'est que la logique formelle est incapable de parvenir à l'affirmation d'une vérité catégorique. Portant sur les cadres généraux du discours, elle est une abstraction des connaissances exactes et positives ; elle demeure au-dessous du seuil du savoir scientifique, elle ne saurait servir de modèle aux mathématiques, ni leur fournir un type de référence.

Dès lors, la question se pose : si la mathématique intervertit le sens de la déduction spécifiquement logique, devra-t-on répéter encore quelle invertit le travail habituel, normal de l'esprit? ou ne s"oppose-t-elle pas plutôt à une première inver- .sion, dictée par les besoins de la pédagogie beaucoup plutôt que par les exigences de la philosophie et qui a eu pour effet déjà de renverser l'ordre naturel de la pensée? ne marque-t-elle pas un retour aux démarches spontanées de l'intelligence humaine?

Il est aisé de comprendre que la seconde interprétation implique une vue d'ensemble sur le mouvement intuitioniste, qu'elle doit aboutir à un redressement total du système des sciences. Avant de tenter un pareil effort, on s'est naturellement engagé dans les voies qui paraissaient plus faciles d'accès et plus courtes, plus « économiques ». En acceptant telle quelle la dualité de facultés^ qui avait été le postulat initial de l'intuitionisme, on a essayé de rattacher à l'intuition la nature de la vérité mathématique. Ces essais sans doute, et l'on ne s'en apercevra que trop dans la suite de cette étude, demeurent fort loin de ce que promettaient l'ampleur du mouvement intuitioniste en général, et la transformation profonde que l'idée de la mathématique a subie. Mais à défaut de système cohérent nous pourrons recueillir des indications qui, toutes partielles et toutes divergentes qu'elles sont, achèvent de fixer la destinée historique de l'intuitionisme et qui conduiront peut-être à poser sous une forme plus féconde le problème de la philosophie mathématique.

RECOURS A LA PSYCHOLOCJIK 4/1,9

RECOURS A LA PSYCIIOLOOII':

-7'*. — Tout (labord, la pmjchohxjic permet-elle de préciser la iiolion de l'inluilion inathémalique et d'en l'aire une faculté révélatrice de la vérité? Il est manifeste que, si on fait rentrer dans l'intuition toute connaissance (jui n'est pas la conclusion d'un raisonnement logi([ue, et jusqu'aux rèj^les mêmes sur lesquclh's le raisonnement doit s'appuyer, on s'expose à des équivoques inextricables. C'est ce que M. Henri Poincaré fait remarquer dans la Conférence où il a étudié, devant un Congrès de Mathématiciens, le rôle de linhiition et de la logique en malhémaliques :

« Comparons ces quatre axiomes :

« 1" Deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles.

« 2° Si un théorème est vrai du nombre 1 et si l'on démontre qu'il est vrai de /iH-l, pourvu qu'il le soit de n, il sera vrai de tous les nombres entiers ;

« 3° Si, sur une droite, le point C est entre A et B et le point D entre A et C, le point D sera entre A et B.

« i° Par un point on ne peut mener qu'une parallèle à une droite.

« Tous quatre doivent être attribués à l'intuition; et cependant le premier est l'énoncé d'une des règles de la logique formelle; le second est un véritable jugement synthétique a priori, c'est le fondement de l'induction mathématique rigoureuse; le troisième est un appel à l'imagination; le quatrième est une définition déguisée '. «

La diversité môme de ces significations interdira de chercher dans l'intuition mathématique un critère de vérité ; la certitude à la fois subjective et transcendante à laquelle prétendait l'intuition religieuse est dépourvue de toute valeur en matière scientifique. Sans doute M. Henri Poincaré, en nous communiquant l'histoire extérieure de ses découvertes les plus brillantes, marque le moment précis où l'illumination apparaît, avec une force irrésistible de conviction : « Je ne fis pas la vérification; mais j'eus tout de suite une entière certitude- ». Sans doute on ne marchandera pas sa confiance à M. Poincaré, pas plus qu'on ne doutait de Racine disant d'une tragédie dont il n'avait peutêtre pas encore écrit un vers : « Ma pièce est faite. » Seulement

1. Deuxième Congrès international (1002), p. 121, et La valeur de la science, p. 20.