Science et Méthode, p

Brunschvicg. — Les étapes. 29

cette confiance n'est à aucun degré un acte de foi mystique dans le génie; au contraire, elle atteste la sécurité morale que le génie nous donne en assumant, dans l'ordre de la science ou dans l'ordre de Fart, l'obligation de faire la preuve : Racine travaillera r « écriture » de sa pièce et lui donnera la perfection qui est le caractère de son œuvre, comme M. Poincaré saura rendre sa démonstration irréprochable.

La divination, qui voudrait se placer au-dessus du raisonnement, serait suspecte; chose remarquable, elle serait d'autant plus suspecte, aux yeux des représentants les plus autorisés de l'intuitionisrae mathématique, qu'elle prétendrait s'appuyer sur les propriétés appartenant à un objet d'intuition, dans le sens original du mot. Sur ce point MM. Klein et Poincaré s'expriment en termes analogues : u Selon moi, dit M. Klein, dans notre intuition naïve, lorsque nous pensons à un point, notre esprit ne conçoit pas un point mathématique abstrait, mais substitue à cette abstraction quelque chose de concret. Quand nous nous figurons une ligne, ce n'est pas une longueur sans largeur que nous nous représentons, mais une bande ayant une certaine largeur. Or une telle bande a naturellement toujours une tangente ^ » ^^ Comment, écrit M. Poincaré à propos du même exemple des fonctions continues sans dérivées, l'intuition peut-elle nous tromper à ce point? C'est que, quand nous cherchons à imaginer une courbe, nous no pouvons pas nous la représenter sans épaisseur; de même, quand nous nous représentons une droite, nous la voyons sous la forme d'une bande rectiligne d'une certaine largeur. Nous savons bien que ces lignes n'ont pas d'épaisseur; nous nous efforçons de les imaginer de plus en plus minces et de nous rapprocher ainsi de la limite; nous y parvenons dans une certaine mesure, mais nous n'atteindrons jamais cette limite^. »

C'est une nécessité que la mathématique, pour s'éprouver et pour se constituer comme science, passe, selon l'ingénieuse terminologie de M. Klein, de ïintuition naïve à cette intuition raffinée qu'il retrouve à l'œuvre dans la géométrie d'Euclide comme dans l'analyse de Weierstrass. Or, « l'intuition raffinée, ajoute M. Klein, n'est pas du tout, à proprement parler, une intuition; elle tire plutôt son origine du développement logique d'axiomes regardés comme parfaitement rigoureux^ ».

1. Conférences au Congrès de Chicago (189.3), trad. L.iugel, 1898, p. 42.

2. Le rôle de Vintuilion, loc. cit., p. 119 et p. 17. Cf. L'Œuvre mathématique de Weierstrass, Acta Mathematica, t. XXII, 1899, p. 5.