La modalité du Jugement, 1897, p

3. Le Roy, La science positive et les philosophies de la Liberté, Bibliothèque du Congrès inlernational de philosophie (Paris 1900), t. I, p. 331.

4. Voir notre étude : La philosophie nouvelle et l'intellectualisme. Revue de métaphysique, 1901, p. 433 et suiv.; et l'Idéalisme contemporain, 1906, p. 98.

métaphysique de la certitude, la théorie dite pragmatiste de la connaissance manque au précepte qui avait fait la portée et la fécondité du mouvement intuitioniste, au respect de la spécifité ; elle sacrifie le sentiment direct que le mathématicien a d'avoir constitué des méthodes capables de conférer à l'objet mathématique une vérité.

279. — Si les interprétations que nous venons de recueillir étaient les seules que comportât le mouvement intuitioniste, nous devrions donc nous borner à enregistrer un aveu d'impuissance. Autant les mathématiciens ont fait œuvre positive en dégageant de la superstition de principes surannés la physionomie authentique de leur science, autant leurs recherches pour préciser la notion d'intuition et y trouver une base pour l'affirmation de la vérité, se sont perdues dans l'incertitude et dans la contradiction.

L'histoire des idées au xix"" siècle rend raison de ce contraste. L'intuitionisme s'est développé comme une doctrine de combat, à l'ombre de l'intellectualisme qu'il se proposait de ruiner. Tant qu'il laissait les mathématiques en dehors de son champ d'action, il trouvait pour sa polémique ses meilleurs points d'appui dans les doctrines qui. ressuscitaient soit le pythagorisme avec le réalisme du nombre, soit l'aristotélisme avec l'ontologisme des classes. Supposons en effet que, faisant table rase du progrès accompli par l'humanité depuis la découverte des irrationnelles, on épuise la capacité de l'intelligence dans la considération du nombre entier positif, alors l'intelligence devient, par hypothèse, la faculté de ne pas comprendre le continu; elle demeurera étrangère à tout effort pour pénétrer la réalité; la science du concret, la science véritable, procédera de facultés non intellectuelles. Ou encore, que l'on regarde comme intellectuel uniquement ce qui est susceptible d'être traduit dans le langage de la logique formelle, il s'ensuivra que toute tentative pour établir entre deux idées un rapport qui ne soit pas implicitement contenu dans les prémisses déjà exprimées, toute exploration et toute découverte, dans quelque domaine que ce soit, fût-ce dans le domaine de la mathématique abstraite, permettront de dénoncer la limitation et l'impuissance de l'intelligence humaine.

Mais ces points d'appui étaient fragiles; ils devaient être renversés sous la poussée même du mouvement inhérent à l'intuitionisme. Il est devenu manifeste que les apories de Zenon d'Élée ou le soriie d'Épiménide le Cretois n ont, à aucune époque,

LE PROBLÈMK 1)K LA FHILOSOPHIK MATHEMATIQI!K 4'57

él('' des obslaclos ciVcclirs à la marche de la pensée malliémali(jue, que la philosophie de rarilhmétisme et la philosophie du logislicisme avaient déjà, dans l'antiquité, cessé de répondre au progrès de la science et de rintelligence. De là une double conséquence. La critique anli-intellectualiste, à laquelle s'est complu le pragmatisme contemporain, apparaît relative à des conceptions périmées depuis des siècles. En revanche la nécessité se fait pressante d'aborder directement et sur le terrain de la mathématique le problème de la vérité dont, jusque-là, lintuilionisme avait cru pouvoir ajourner la considération. Du sommet de l'édifice où il s'était installé d'abord, il est parvenu au niveau du sol; il devra scruter et consolider les fondations, ou toute la série de ces sciences qui s'appuyaient lune sur l'autre, risque de s'etîondrer.

Nous nous expliquons par là les difficultés que l'intuitionismc rencontre sur le terrain de la philosophie mathématique, et qu'il n'a pu surmonter. Elles sont, pourrait-on dire, le résultat d'une victoire trop complète. L'intuitionismc a fait évanouir le « faux idéal » de la déduction logique; il s'est trouvé désemparé par la disparition d'une force répulsive qui assurait l'équilibre apparent du système. Du moment que la mathématique est une science « primaire » qui, soit })Our s'y réduire, soit pour s'y opposer, ne renvoie pas à une discipline antérieure, il n'est plus possible de s'attarder au jeu des facultés; le combat sans issue que se livraient, pour l'interprétation des mathématiques, la doctrine du concept et la doctrine de Vinlnition, prend fin faute de combattants.

280. — Et l'on comprend aussi quelle « conversion » totale subira la philosophie des mathématiques. Au lieu de se superposer aux théories qu'elle a jugées trop étroites pour rendre compte de la connaissance scientifique, elle s'y substituera. Elle édifiera par elle-même une doctrine de l'intelligence et de la vérité, sans se référer à aucune définition préconçue, à aucun principe d'origine étrangère.

La tâche semble ainsi multipliée au point de devenir inexécutable; elle est en réalité simplifiée au point d'être déjà presque toute remplie. Afîranchie du préjugé de la déduction universelle, la philosophie mathématique rend directement utilisable pour ses fins l'histoire de la pensée mathématique. En effet, ce qui avait jusqu'ici écarté de l'histoire la philosophie, ce qui même avait provoqué entre la mathématique d'autrefois et la mathématique moderne cette rupture apparente dont l'intuitionisme a souligné la portée, c'est que la formation de la pensée

4o8 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE

mathématique avait été dissimulée sous raj)pareil de l'exposition et de la tradition pédagogique. Tandis que la formation est une œuvre d'extension effective où l'esprit s'appuie sur des propositions élémentaires et particulières pour la découverte de relations plus générales, la tradition est une œuvre de resserrement qui porte sur les notions les plus générales, de manière à impliquer virtuellement dans leurs définitions toutes les vérités à démontrer; elle obéit au vieux « principe d'économie » dont la Scolastique avait donné cette formule célèbre qu il ne faut pas multiplier les êtres sans nécessité.

La philosophie mathématique s'était crue obligée de prolonger la tradition pédagogique; son principal effort était de réduire le nombre des idées fondamentales, den exposer les conséquences sous la forme la plus concise et la plus correcte. Elle se flattait d'avoir pénétré l'essence du savoir scientifique quand elle avait reconstruit et ajusté le système de la science suivant la règle dont Leibniz osait tirer le plan de la création divine : minimo sumptu maximus effectus. Dans une conception aussi impitoyable du principe d'économie les fondements doivent être calculés de manière à supporter exactement la charge de la science déjà constituée, et rien déplus. Il est donc toujours à craindre qu'une conquête importante de la technique compromette l'équilibre de l'édifice. De fait, à chacune des étapes essentielles que la mathématique a franchies, la philosophie a été condamnée à revenir sur des j)rincipes qui avaient paru consacrés par leur évidence ou par leur succès, à étendre les bases de la construction logique afin de l'égaler à l'horizon élargi de la science, jusqu'au jour où s'est enfin manifestée la contradiction inhérente à l'idée d'une déduction universelle, d'une déduction qui serait tenue en quelque sorte de se déduire elle-même.

L'expérience de Ihistoire rend donc au philosophe un double service : elle dissipe le voile que les systèmes dogmatiques avaient interposé entre la philosophie des mathématiques et la réalité de la science; du coup elle lui permet de ressaisir à l'état naissant cette réalité et d'en déterminer le caractère véritable. Expliquer le présent par le passé, ce n'est nullement ramener bon gré mal gré le présent vivant aux formes cristallisées du passé, rabaisser lanalyse au niveau de la logique ou sacrifier la diversité des géométries modernes à l'unité de la catégorie spatiale. Au contraire c'est à la condition d'avoir compris d'abord la science qui agit et qui s'étend sous nos yeux, que l'on pourra, éclairé par elle, restituer au passé ce qui a été sa vie et son actualité, et suivre de là, dans son ordre naturel, la continuité du

LK PllOBLEMi: DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE 459

devenir scientifique. La philosophie mathématique entre alors en possession de son objet : entre les péripéties de l'invention qui n'intéressent (ju'unc conscience individuelle, et les formes du discours (jui concernent surtout la tradition pédagogique, elle délimitera le terrain où s'est produite l'acquisition collective du savoir; elle reconnaîtra la « voie royale » qu'y a tracée l'intelligence créatrice.