LES RACINES DE LA VÉRITÉ ARITHMÉTIQUE

281. — Ainsi, les études que nous avons entreprises semblent se refermer en quelque sorte sur elles-mêmes, en nous apportant la matière de la conclusion qu'il paraît possible d'énoncer, dans l'état actuel delà connaissance et de la réflexion.

Le progrès du mouvement intuitioniste a déterminé sans doute une étape nouvelle dans l'évolution de la philosophie mathématique, étape consécutive à la ruine des conceptions purement formelles qui étaient issues de V avithmétisme ou de la logistique. Mais la philosophie qui correspond à cette étape nouvelle, ne peut réussir à prendre une forme cohérente et positive qu'à la condition de dépasser la notion d'intuition, en elle-même équivoque et décevante. C'est donc pour aller au delà de lintuition ou, si l'on préfère, pour restituer leur juste valeur aux idées diverses qui ont été réunies sous ce mot d'intuition, (jue nous avons à mettre à profit notre double expérience de l'histoire, histoire de la philosophie et histoire de la science.

282. — L'histoire de la philosophie permet de préciser les termes du problème que la philosophie mathématique doit résoudre à l'heure actuelle. Avec la critique de Kant, avec le positivisme de Comte, l'idée de la philosophie mathématique a subi une modification radicale. Il ne s'agit plus, comme chez un Pythag-ore ou un Platon, chez un Descartes encore ou un Leibniz, de définir un type d'intelligibihté qui, exprimant la nature profonde de l'esprit, s'étende à l'universalité de l'être. La spécificité des méthodes scientifiques s'impose, non certes comme un résultat définitif, du moins et en raison même de la rapidité d'évolution dont les sciences modernes ont fait preuve, comme une donnée à partir de laquelle la réflexion est appelée à s'exercer.

LES RAChNKS DK LA VHRITE AUITHMETIQUE 461

Le probh'Tîie de l;i philosophie math/^malique se pose donc h l'intérieur du domaine propre des malhômaliques, et sans référence à aucune autre discipline. La science mathématique ne se ramène ni à la logique prise en général, ni à la science de la nature: elle ne rencontre pas, antérieurement à elle, un type de vérité (jui lui convienne. Ainsi s'exitliquerail, selon nous, l'embarras paradoxal auquel se sont heurtés ceux des mathématiciens contemporains qui, assurés par leurs travaux que la mathématique était elYeclivement capable d'étendre l'horizon de la vérité positive, ont voulu se rendre compte des bases sur lesquelles cette vérité pouvait se fonder. Ils se sont adressés à la philosophie; mais la philosophie contemporaine ne leur ofîrait plus de cadre où leur pensée pût rentrer. Au contraire, elle avait brisé les anciennes définitions sur le-^quelles ref)Osaient les solutions classiques. L'évidence rationnelle était réduite jusqu'à n'être jdus que la forme de la liaison logique, telle qu'on la retrouve dans le discours cohérent du délire systématique ; la notion d'expérience était élargie jusqu'à rejoindre le rêve, si incohérent soit-il, pourvu qu'il agisse fortement sur une âme, qu'il y manifeste une puissance de suggestion et de vie. Entre ces deux extrêmes la vérité proprement dite, celle qui a un contenu objectif et qui est capable de véritication universelle, semblait presque s'évanouir; de là cette impuissance singulière à résoudre le problème que posait l'existence même de la science. A l'heure présente la tâche de la philosophie consiste à organiser, autour de la science positive, une notion positive de la vérité; et elle est à reprendre par la base, par l'étude des problèmes qui regardent la science élémentaire, c'est-à-dire la mathématique.

283. — Nous voudrions demander à l'histoire de la science la solution objective de ces problèmes. Mais nous devons alors surmonter une grave difficulté. L'histoire proprement dite commence avec des monuments qui montrent la science déjà en possession d'un objet nettement délimité, d'une méthode rigoureusement définie. Or, du mom.ent que les premières propositions de l'arithmétique ou de la géométrie ont été acquises sous une forme telle qu'il n'y ait désormais qu'à construire sur ces fondements, le mathématicien ira de l'avant sans plus s'embarrasser de questions théoriques sur la nature et sur la portée des résultats mathématiques, sans rencontrer sur sa route le problème de la vérité. Si plus tard la pensée humaine est capable de changer son point d'application, si elle recherche les conditions qui assurent au contenu de la mathématique sa valeur de vérité

positive, le mathématicien n'en demeure pas moins, par la tournure de son esprit, par Timpulsion acquise grâce à ses propres travaux, enclin à regarder encore en avant de lui; c'est par un progrès technique, par une invention proprement dite, qu'il espère projeter la lumière sur les éléments de la science. A cet égard, nous avons rappelé quelques-unes des analyses qui, avec les Méray, les Helmholtz, les Cantor, avec les Lobatschewsky, les Riemann, les Hilbert, ont renouvelé notre connaissance des principes arithmétiques ou géométriques. Nous avons eu en même temps occasion de montrer pour quelle raison elles ne suffisaient pas à la solution des problèmes philosophiques : la détermination toute spéculative des principes permet de comprendre ce que sont ces principes, pris en eux-mêmes; elle ne fait pas voir en quoi ils soutiennent une déduction qui est tout autre chose qu'une fantaisie libre de l'esprit, qui est une introduction à la prise de possession de la nature.

Le rôle de la philosophie mathématique n'est nullement, selon nous, de prolonger la forme déductivc du raisonnement au delà des limites où s'arrête la science positive, comme si l'on devait enfermer la vérité dans le cadre d'un artifice logique. Au lieu de détacher ainsi la science de toute connexion avec la réalité, il faut, au contraire, atteindre la source où se manifesterait le contact originel de l'intelligence avec les choses, et pour cela remonter le cours de l'histoire, jusqu'au point où l'on pourra mettre à nu les racines de la vérité arithmétique ou géométrique. Le philosophe n'a pas à inventer une solution du problème de la vérité; il a seulement à découvrir comment, en fait, l'humanité l'a résolu. De ce point de vue, il n'y a pas de meilleur instrument de travail qu'une enquête aussi complète que possible sur le passé de la science, suppléant par l'observation ethnographique aux lacunes de la tradition écrite, de là s'efforçant de suivre la filiation des idées à travers l'influence réciproque des recherches techniques et des vues philosophiques. Les théories des savants sur les principes de la science se retrouveront naturellement comme éléments essentiels de cette enquête; elles éclairent les démarches fondamentales de l'esprit, qui risqueraient de demeurer cachées dans l'inconscience de la production spontanée; mais, grâce à l'analyse des fonctions psychosociologiques dont la mathématique est issue, nous pourrons leur restituer l'assise sans laquelle elles ne seraient encore que des spéculations dans le vide, ou, tout au moins, dans l'abstrait.

Bref l'originalité de l'étape nouvelle dont nous essayons de déterminer les caractères, c'est que la philosophie mathématique

LA MATHKMATIQli; AVANT LA M MERATION 463

M}- aurait plus pour but d'ajouter un système aux systèmes <|ui ont déjù pris place dans l'histoire; elle se retourne vers rhistoir(' olle-uième, elle recherche la convergence et la coordination des résultats qui ont été obtenus aux dilTércnles périodes, et elle les enregistre comme les marques positives de l'objectivité.

Section A. — La mathématique avant la numération.

:284. — La considération de la vérité arithmétique va fournir une application immédiate des remarques précédentes. Jus- (|u'aux travaux de M. Georg Cantor, on s'accordait à faire commencer la pensée mathématique avec les premières opérations sur les nombres finis; elle avait pour base un système de numération qui fournissait les éléments nécessaires au jeu des opérations. Helmholtz a défini les conventions qui permettent de se procurer de tels éléments au moins de frais logiques possible. M. Cantor a élargi l'horizon de la mathématique en la faisant reposer sur le procédé de correspondance qu'Helmholtz avait déjà employé, mais surtout à titre auxiliaire, et pour passer de l'idée du nombre ordinal aux collections d'objets que représentent les nombres cardinaux. Or, que faut-il voir dans ce procédé de correspondance? Est-ce seulement la forme la plus générale à laquelle la spéculation parvient en raffinant sur les abstractions fondamentales de la science, en prolongeant la mathématique positive en « mathématique libre »? Ou n'est-ce pas au contraire la première manifestation dune raison réagissant sur l'expérience, établissant des règles qui s'imposent dans la pratique à tous les individus parce qu'elles sont également vérifiables par tous? la correspondance n'exprime-t-elle pas une fonction qui a présidé aux démarches constitutives de la science et qui a pu leur assurer la vérité, fonction dont les formes les plus hautes de l'investigation technique ont recueilli l'héritage et le bénéfice?

La réponse que nous ferons à la question ainsi posée commandera toute l'orientation de la philosophie mathématique. Or, selon nous, le sens de cette réponse n'est pas douteux.

Déjà, M. Cantor avait cité, dans les discussions provoquées par ses travaux, des pages curieuses dans leur gaucherie, tirées d'un ouvrage de Bertrand de Genève : Développement nouveau de la partie élémentaire des mathématiques, prise dans toute son étendue. Bertrand suit la méthode idéologique de Condillac; il

« introduit, suivant les expressions de la Préface^ un berger ignorant tout à fait l'art de compter et lui fait inventer la numération et la notation que nous avons empruntée des Arabes ». Et voici les premières lignes du premier chapitre : « Dans les commencements, les hommes furent chasseurs ou bergers, ces derniers eurent d'abord occasion de compter; il leur importait de ne pas perdre leurs bestiaux; et pour cela il fallait s'assurer le soir si tous étaient revenus au pâturage: celui qui n'en aurait eu que quatre ou cinq, aurait pu voir d'un coup d'oeil si tous étaient rentrés ; mais un coup d'oeil n'aurait pas suffi à celui qui en aurait eu vingt. Considérant donc ces bestiaux revenant les uns après les autres, il aurait imaginé une suite de mots en pareil nombre, et gardant ces mots dans sa mémoire, il les aurait répétés le lendemain, à mesure que ses bestiaux seraient rentrés; afin d'être sûr, s'ils eussent cessé d'entrer avant qu'il eût achevé ces mots, qu'autant qu'il lui restait de mots à prononcer, autant il lui manquait de bestiaux i. »

Uhypothèse idéologique peut être retenue aujourd'hui sous la forme de thèse sociologique. Nous n'avons qu'à rappeler les observations ethnographiques qui ont été faites sur les procédés de calcul dans les sociétés inférieures, et particulièrement celles que nous avons empruntées à l'ouvrage de M. Lévy-Bruhl. Le premier chapitre d'une étude sur les pratiques usitées antérieurement à l'invention d'un système de numération, antérieurement même à la conception distincte du nombre, a le même objet que le premier chapitre d'une Encyclopédie, où l'on se proposerait de déterminer la forme la plus simple qui domine les différentes disciplines de la mathématique. Une telle rencontre détermine le terrain où l'analyse pourra commencer de résoudre objectivement le problème de la vérité mathématique.

LA PRATIQUE DE l'ÉCHANGE UN CONTRE UN

285. — Pour rendre cette analyse aussi précise qu'il se peut, il convient de choisir une forme particulière parmi celles que la correspondance univoque et réciproque est susceptible de revêtir dans les opérations spontanées des sociétés inférieures. Nous nous attacherons à l'échange un contre un, sur lequel Jules Tannery avait attiré déjà l'attention dans les premières pages des Leçons d'arilhmélique théorique et pratique : « Sup-

1. T. I, Genève. 1778, p. J. Cf. Cantor. Mittheilungen :ur Lehrc vota Transjîniten, Zeitschrift fur Philosophie und phiiosophische Kritik, XCI, 1887, p. 87.

LA l'HATiQiiK DK l'icchan(;i: IN CONTIU: UN 465

posons (ju'uii enfant veuille acheter des pommes à un marchand (pii loi vend un sou cliacune; il peut donner un sou contre lequel le marchand lui donnera une pomme; puis un autre sou et recevoir une pomme; donner encore un sou et recevoir encore une pomme, etc.. Au bout d'un nombre quclconcpie déchanges, le nondjre des pommes qu'il a reçues est égal au nombre de sous qu'il a donnés; à chaque pomme reçue correspond un sou donné : c'est ainsi que se pratiquent les échanges entre objets de même valeur chez les peuples qui ne savent pas compter '. »

Il semble que l'analyse ne puisse se donner un point de départ plus simple; car nous ne supposons rien d'autre ici que la connaissance des choses individuelles et de leurs qualités spécifiques. J'emploie à mon service un enfant qui ne sait pas compter; je l'envoie porter une lettre, et je lui dis d'attendre, puis de me rapporter la réponse; il sait faire la commission. De même, je lui dis de m'acheter une pomme chez un marchand qui la vend un sou; il exécute mon ordre. Il n'a pas encore fait de mathématique : dans sa pensée ««et soa forment une expression unique, comme une et pomme. 11 ne dispose que de la relation au sens le plus général du mot.

Mais voici que je lui demande de retourner chez ce marchand qui vend les pommes un sou pièce, et, contre quatre sous que je lui remets, de me rapporter quatre pommes. Cette fois je lui donne à faire une opération effective, et la preuve en est que j'en pourrai contrôler mathématiquement le résultat : s'il me donne trois pommes ou cinq, je trouverai que l'opération na pas été juste. Pourtant cette opération que je contrôle, l'enfant l'aura effectuée sans calcul; il ne connaît ni la numération ni les noms de nombre. Il posera sur la table du marchand un sou, puis il prendra une pomme; de nouveau il posera un sou, puis prendra une pomme. Il recommencera jusqu'à ce qu'il n'ait plus de sous dans sa i)oche, il me remettra les pommes quil a dans la main. Dans l'esprit de mon commissionnaire la pensée mathématique existe donc sous une forme définie et qui se suffit à elle-même. Et l'on conçoit qu'une civilisation puisse se constituer qui se satisfasse avec un pareil procédé déchange. On met en présence sur un marché, ici des morceaux de métal dont on ignore le compte, là des têtes de bétail dont on ignore également le compte; on les échange un contre u/?, jusqu'à ce que l'un des

1. 1894, p. 3. Voir également Science et philosophie, 1912, p. 8-3. Cf. Zeulhen, Histoire des mathématiques dans Vantiquité et le moyen âge, trad. Mascart, p. 222.

Brunschvicg. — Les étapes. 30

deux tas en présence soit épuisé, et l'échange est consommé sur une base qui assurément offre plus d'un désavantage au point de vue économique, mais qui est rigoureuse au point de vue mathématique.

Ainsi, tandis que le fait d'échanger un sou contre une pomme ne constitue pas une opération mathématique, l'échange de quatre sous contre quatre pommes nous apparaît déjà comme une opération mathématique. C'est qu'en effet l'échange unique est un tout que l'on ne songe pas à décomposer, le sou et la pomme en font partie intégrante. Mais la répétition de l'acte met nécessairement en relief un élément qui est constant pour l'enfant puisqu'il se prescrit une série d'opérations à renouveler. L'objet est autre : c'est un autre sou qu'il doit prendre dans sa poche, une autre pomme qu'il doit prendre sur la table du marchand. Ce qui se répète, c'est l'échange qu'il effectue entre un sou et une pomme, c'est l'acte que son bras accomplit au service de son esprit.

286. — On assiste donc ici à la naissance de l'abstraction mathématique; et cette abstraction est comparable à l'abstraction d'ordre pratique en ce sens qu'elle est avant tout un mode d'activité. Comme M. Bergson Ta fait remarquer, l'idée générale commence par la répétition des actes les plus utiles au développement biologique, des circonstances les plus favorables à ces actes ; et ainsi serait-elle en particulier dans la vie animale : « C'est l'herbe en général qui attire l'herbivore : la couleur et l'odeur de l'herbe, senties et subies comme des forces (nous n'allons pas jusqu'à dire : pensées comme des qualités ou des genres) sont les seules données immédiates de sa perception extérieure'. » La ressemblance devenue consciente, la reconnaissance contrôlable et vérifiable ne serait qu'un second moment; le premier serait la ressemblance en action, la reconnaissance vécue.

Cette distinction, qu'aucun psychologue avant M. Bergson n'avait mise en pareille lumière, entre l'abstraction, opération concrète, et la représentation générale, l'abstrait qui en serait la conséquence ultérieure, permet de fixer sans ambiguïté le sens de la pensée mathématique, au stade initial où nous l'analysons.

D'une part, les représentations génériques, celles du sou et de la pomme par exemple, issues des abstractions d'ordre pratique dont nous venons de parler, ne jouent aucun rôle dans l'opération positive de l'échange. L'échange, et c'est par là qu'il est