Vide supra

2. Préface à la traduction française de la Méthode des fluxions de Newton, p. IX.

qu'il a bien donné au marchand ce qu'on lui avait dit de donner. Nous saisissons, à sa naissance, la synthèse mathématique : pas plus que Tabstraction élémentaire, l'abstraction synthétique ne suppose la notion abstraite ; celle-ci est le produit, celle-là e°,i productrice.

L'enfant ne connaît encore ni la collection en tant que collection, ni la relation du tout à la partie; il voit seulement des tas de sous et des tas de pommes, il a les mêmes images, avant et après la série des échanges. Mais, du fait de ces échanges, il s'est ajouté à ces images quelque chose qui n'est plus susceptible d'une représentation immédiate par des images : la pensée que les deux tas sont reliés l'un à l'autre par les opérations dont ils ont été l'objet. Cette pensée est présente à l'esprit de ceux qui ont fait ensemble les opérations, puisqu'elle est pour chacun la loi de son activité interne comme elle est pour tous deux la règle de leurs rapports réciproques. Si nous nous substituons à eux pour en donner une formule explicite, nous dirons qu'elle est la pensée de l'équivalence, plus exactement le rendre équivalent, l'égalité en acte, ou, dans la force de son sens oi'iginel, Yéquation. L'égalité, comme la doctrine des ensembles l'a bien fait voir, ne résulte pas d'une comparaison entre termes qui seraient mesurés chacun à part et dont on rapprocherait ensuite les valeurs intrinsèques; l'égalité peut s'établir avant la numération, puisqu'il suffit d'appliquer à deux pluralités d'objets dont nous ignorons la valeur numérique, le procédé de correspondance univoque et réciproque qui est indépendant du concept de mesure.

L'égalité se présente ainsi comme dérivant de la relation élémentaire par excellence; elle est la première relation d'ordre scientifique parce qu'elle est vraie, ou, plus exactement, parce qu'elle est susceptible de vérification. Ici la vérification se présente sous la forme la plus simple du contrôle immédiat. En cas de doute, c'est-à-dire pratiquement en cas de désaccord entre le marchand et l'acheteur, on recommence les opérations en y apportant des deux parts un redoublement d'attention, de façon à ce que chacun des actes successifs d'échange soit effectué réellement et simplement, c'est-à-dire sans omission ni répétition. Cette opération peut être recommencée à son tour, pour la garantie d'un nouveau contrôle. Cette vérification sans fin, se repliant perpétuellement sur elle-même, fournit le plus haut degré de certitude qu'il soit donné à l'homme d'atteindre, la seule forme sous laquelle, raisonnablement, il soit possible de concevoir l'infaillibilité.

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2SH. — l*eul-<Hre, si Ton drveloppait toutes les suggestions aux(|uelles se prête la considération tie léchange un contre un, y .verrait-on poindre l'idée de l'infini et l'idée de zéro. Il suffit de supposer deux partenaires en l'ace de marchandises accumulées, deux enfanls devant deux gros tas de cailloux, et de les imaginer s'arrèlanl, découragés, au milieu d'opérations qui leur semblent interminables, pour faire surgir la notion d'infini sous la forme la plus simple où elle apparaît dans la conscience du mathématicien : le terme de l'opération fuyant devant l'esprit à mesure {|u'il avance et parle fait même qu'il avance. C'est celte notion à laquelle conduit le progrès illimité de la numération ; mais on voit qu'elle est inrlépendante de la constitution d'un système déterminé de numération.

D'autre part on arriverait à concevoir la genèse du zéro si l'on attribuait aux deux partenaires de l'échange une intelligence suffisante pour considérer leurs rôles respectifs, et se mettre, en pensée, chacun à la place de l'autre. L'enfant qui échange des sous contre des pommes, comprend que le marchand échange des pommes contre des sous. L'opération unique se dédouble alors en deux processus dirigés en sens inverse; distinction qui peut avoir une application pratique dans le cas où les deux parties en présence seraient mécontentes du résultat et s'accorderaient, une fois l'échange fait, pour annuler leurs opérations. Elles se décident alors à les recommencer en sens inverse : l'enfant échangera des pommes contre des sous ainsi qu'avait fait le marchand; le marchand échangera des sous contre des pommes ainsi qu'avait fait l'enfant. Au terme de ce second échange, ils auront tous deux le sentiment que leurs positions respectives sont identiques à leurs positions initiales, que tout est entre eux comme s'il ne s'était rien passé. Traduisez ce sentiment dans le langage que la mathématique se donnera plus tard, et vous obtiendrez du zéro l'idée la plus abstraite, mais aussi la plus précise et la plus intelligible : le résultat fourni par la combinaison de deux séries formées d'éléments identiques, mais orientées en sens inverse Tune de l'autre.

289. — Il était utile de montrer quelle fécondité comportait un processus d'activité mentale antérieur à toute prescription technique, à toute notation symbolique. Mais ce qu'il importe de retenir pour l'intelligence de l'idée de science mathématique, c'est avant tout que cette activité donne naissance à la relation fondamentale d'égalité, et qu'elle la fait naître en lui communiquant, dès l'abord, une vérité interne. Les tas qualitativement

déterminés de sous, de pommes, d'objets quelconques, sont relatifs aux conditions de la perception dans telle ou telle conscience individuelle; la relation d'équivalence s'établit, au contraire, entre les deux tas respectivement considérés; et elle acquiert une valeur qui leur est inhérente, indépendamment des circonstances de la perception.

Par là nous sommes amenés à une conception philosophique capable, suivant une expression d'Harald HôlTding, de conserver les valeurs essentielles de la vérité et de l'activité. La philosophie du concept et la philosophie de l'intuition étaient d'accord pour en supposer l'incompatibilité, quitte à donner de cette incompatibilité deux interprétations contradictoires, et à se neutraliser dans une controverse sans fin qui ne servait qu'à faire éclater leur commune insuffisance. Mais le cercle est rompu si nous avons réussi à prouver que l'opération initiale de la science est la détermination d'une relation vraie.

290. — Sans doute il sera possible d'objecter qu'en prenant comme point de départ la notion d'opération, on s'appuie sur une « notion manifestement anthropomorphique, empruntée par métaphore au domaine de lactivité pratique ' ». Mais, sans contester le danger de l'anthropomorphisme pour la conscience religieuse et la nécessité qu'elle soit affranchie de la superstition d'un passé puéril, on peut penser que la mathématique n'est guère assimilable à la théologie, et qu'il y aurait plutôt lieu d'y redouter une sorte de réalisme « théomorphique » qui sacrifierait l'intelligence de la science humaine à l'imagination illusoire d'une vérité absolue et quasi-divine.

La matière première de la réflexion philosophique, ce sont des hommes qui agissent ; nous dirons avec le pragmatisme, ou plus exactement avec la Sagesse des Nations, que l'intérêt matériel a commandé les efforts de la pensée naissante et que la nécessité est la mère de l'ingéniosité. Mais nous ajoutons aussitôt que de telles formules n'apportent de solution précise à aucun problème défini; le pragmatisme contemporain, moins épris en fait d'action réelle que de généralités oratoires, a eu le tort de s'arrêter là où commence l'analyse proprement dite ; il n'a pas su reconnaître la distinction spécifique que présentent les différentes formes de l'activité humaine, et réserver une place exceptionnelle à ce qui fait de l'humanité une espèce exceptionnelle parmi les espèces animales. Pour nous, nous nous sommes donné pour tâche de guetter le moment où les