A, 141, AKB, t. IV, p. 101, tr. Ba, I, 101, TP

2. Historia de Abiponibus, II, 173. Cf. Lévy-Bruhl. Les fondions mentales dans les sociétés inférieures, p. 207.

représente quelques-unes des formes usitées, dans le dialecte Heiltsuk de la Colombie britannique, pour désigner non pas deux à proprement parler, mais pour suppléer à l'absence du nom de nombre.

On aura pour deux êtres animés : Maalok.

— deux êtres ronds : Masem.

— deux êtres longs : Mats'ak.

— deux êtres plats : Matlqsa.

— deux Jours : Matlp'enequls.

— deux brasses : Matlp'enkh.

— deux objets réunis : Matlouth.

— deux groupes : Matlsmots'ult.

— deux tasses remplies : Matraqllala.

— deux tasses vides iMall'aqtla.

— deux boîtes pleines : Masemala.

— deux boîtes vides : Masem.

— deux canots chargés : Mats'ake.

— deux canots avec leur équipage : Mats'akla.

— deux objets ensemble sur la plage : Maalis.

— deux objets ensemble dans la maison : Maalitl '.

L'idée commune à toutes ces classes est latente, comme le prouve déjà Tidentité de la racine qui entre dans ces diverses formes verbales. Elle se dégage explicitement lorsque chaque nombre est pourvu d'une expression uniforme, indépendante de toute référence aux classes. La victoire est alors complète, trop complète même ; car la simplicité du terme risque d'effacer pour la conscience la complexité des efforts qui en ont préparé l'avènement. De même que la théorie du concept s'est perdue dans Talternative insoluble de la compréhension et de l'extension, la doctrine du nombre devait se heurter à la dualité irréductible de V ordination et de la cardination.

296. — Or on peut se demander si de part et d'autre l'illusion n'est pas semblable. Il n'y a ni nombre purement ordinal, ni nombre purement cardinal. Une collection qui est donnée d'un bloc à la perception comme un tout indivisible, n'est pas un nombre; elle ne devient un nombre que si les différents éléments en sont distingués pour être énoncés, c'est-à-dire si l'esprit est capable d'en remarquer successivement chaque unité. Et inversement une série d'unités qui défile devant l'esprit ne devient

1. The North Western Tribes of Canada, Reports of the British Association for the advaiicemcnt of sciences, 1890, p. 658. Cf. Lévy-Bruhl, op. cit., p. 224.

LE r.ONClil'T HENLRIQL'I': ET LE NOMBHK 479

nombre i[uc. >^'i un rang' est assigné à chaque unité, c'esl-à-dirc si la pensée intervient pour introduire dans l'idée de l'unité qui passe ridée de celles (|ui l'ont précédée, si elle sait convertir par conséquent la succession en simultanéité. Le rang de la série et le cliilïre de la collection pourront être utilisés, chacun pris à part, dans des jugements ultérieurs, lorsqu'il s'agira de passer du domaine de l'arithmétique aux applications empiriques qu'il comporte, lorsqu'on aura, soit à déterminer la place d'un élément dans un système ordonné, soit à fixer la quotité des éléments dans un groupe donné. Mais si on veut ne retenir que la conception scientifique, pour en développer intégralement le contenu et en définir le principe, il est impossible de séparer l'ordination et la cardination — la série des actes successifs par lesquels l'esprit parcourt chacun des éléments, et la synthèse qui rassemble ces actes divers dans l'unité d'un objet intellectuel. Un signe tel que o suffira pour exprimer la notion numérique; mais il devra se traduire explicitement par une formule telle que celle-ci : premier et second et troisième et quatrième et cinquième, cela fait cinq. La démarche caractéristique de la pensée est encore ici une relation de correspondance : la correspondance entre la répétition de l'opération énumératrice et la représentation de la collection ainsi formée.

Dans cette correspondance se trouvera impliquée la vérité qui confère à la notion numérique une valeur scientifique dont la notion générique était dépourvue. En efTet, puisque la permutation de deux éléments voisins n'a rien qui choque la raison ni qui contredise l'expérience, nous avons dû la considérer comme légitime; or, si cette interversion est légitime, de proche en proche, toute permutation est permise sans changer le résultat final. L'ordre de l'énumération est donc indifférent, c'est-à-dire que chacune des opérations successives par lesquelles la collection 3 a été formée, cesse d'être une opération qualitativement distincte de celle qui la précède et de celle qui la suit. On obtient ainsi une équation de la forme suivante : premier = second = troisièmes quatrième =^ cinquième; et dans une semblable équation est impliquée la notion qui apparaît la dernière dans le développement de la pensée arithmétique parce qu'elle marque le terme extrême de l'abstraction numérique, la notion d'unité. Chaque unité est posée comme identique à une autre unité, c'està-dire que l'esprit ne s'arrête plus à aucune détermination spécifique, à aucun caractère intrinsèque de la chose, qu'il ne connaît plus rien de l'objet sinon ce fait qu'il le pose comme objet. Le jugement d'existence, réduit en quelque sorte à son principe

simple et nu, l'acte qui pose Tobjet, voilà ce que c'est que l'unité numérique; de là cette conséquence qu'il n'y a rien qui de l'intérieur distingue une unité d'une autre unité : elle sera seulement le second ou troisième acte, qui pose l'objet deux ou trois; de là l'homogénéité absolue des unités numériques, d'où dérivent les diverses propriétés du calcul numérique.

297. — Nous pouvons maintenant répondre à la question : qu'est-ce que la notion de nombre? Le nombre n'est pas un concept au sens traditionnel du mot, ni même un jugement à proprement parler; c'est une loi de raisonnement, c'est la condition d'un double processus de décomposition et de composition, ou, comme on dit encore, d'analyse et de synthèse, tel que nous l'avons retrouvé dans l'idée du sclième de Kant et surtout dans l'idée de la méthode cartésienne. Mais Descartes avait introduit entre les deux processus l'exigence de l'évidence, qui conférerait aux éléments de la déduction une valeur absolue et qui permettrait à la synthèse rationnelle de s'établir a priori comme système de l'univers. Il imposait ainsi à l'emploi de la <* méthode » des conditions qui en altèrent, et même en restreignent singulièrement, la portée. L'essence de la « méthode » serait au contraire, suivant nous, dans la relativité des idées claires et distinctes. Les nombres sont des éléments isolés par une abstraction sui generis de la réalité unique de l'univers; et l'ordre intérieur de la synthèse numérique est vérifié par la confrontation de ses résultats avec les données de la perception.

Nous dirons donc qu'au point de départ de l'analyse se trouve la réalité perçue: d'ailleurs, que l'activité de la pensée mathématique ne puisse s'exercer que sur le monde de l'expérience, c'est presque une naïveté que de le dire, car l'expérience est coextensive à l'existence elle-même. Mais les groupes fournis par la perception sont soumis à l'activité résolutoire qui discerne chacun des éléments du groupe, qui le ramène au simple fait de présence, à l'acte de poser l'objet, et de le compter pour un Des unités rendues ainsi homogènes les unes aux autres, la pensée synthétique va refaire un nombre. L'addition rectiligne, unité par unité, que l'on considère d'ordinaire comme essentielle à la constitution du nombre, comme antérieure au calcul proprement dit, est une opération comme les autres, une forme simple d'addition, laquelle du reste ne peut être pratiquement effectuée que sur les premiers nombres de la série; tout système de numération est obligé de faire appel à la multiplication, et nous avons vu en fait que la duplication avait dès l'origine joué un rôle essentiel dans la formation des notions numériques.

LK pniNCiiM: DIT d'inditgtion complktk 481

Om(^ Ton utilise donc raddilion un à un, la duplication, ou lollo combinaison ([uc Ton voudra do l'addition et de la multiplication, la synthèse conslilulivc du nombre est (également valable; c'est par l'érpiivalence des opérations syntliéliques que <e définit en dernier ressort la notion de nombre. Je pourrai avoir les expressions suivantes : 1 + 1-l-l-t-l-f-l-l-l, ou bien encore 2 4-4, ou bien 2x3, ou bien 2 -+-2 -h 2; ces opérations sont distinctes; mais elles sont équivalentes, parce que le nombre auquel elles aboutissent est identique : c'est le nombre 6. Et la preuve en est immédiate; si je fais correspondre h chacun des groupements qui définissent ces opérations, la forme qui exprime les unités homogènes dont elles se composent, j'obtiens la même juxtaposition d'unités : IIIIII. Suivant l'ingénieuse formule de M. Whitehead, qui unit d'une façon si frappante la fécondité pratique et la rigueur logique de la science mathématique, le paradoxe est devenu iraismeK Toute démarche positive de la pensée est une synthèse; toute démonstration est une analyse. Mais la synthèse rationnelle est celle qui est susceptible d'une résolution intégrale, par laquelle elle se vérifie.

LE PRINCIPE DIT d'iNDLCTION COMPLÈTE

298. — Nous avons dû insister sur la complexité effective et sur la spécificité de la fonction remplie par le nombre; ce n'était pas seulement afin d'atteindre à l'intelligence du nombre lui-même et de marquer la vérité qu'il implique; c'est aussi afin de nous mettre en état de résoudre, ou, plus exactement, de poser dans leurs véritables termes, les problèmes soulevés par le développement des opérations mathématiques.

Ainsi, pour étendre aux combinaisons entre nombres déjà constitués le dynamisme intellectuel d'où procède la constitution du nombre, les mathématiciens contemporains invoquent un principe dont la formule est la suivante : « Si une propriété est vraie du nombre 1, et si l'on établit qu'elle est vraie de /i-4-l pourvu qu'elle le soit de n, elle sera vraie de tous les nombres entiers"-. »

Le procédé de démonstration, qui s'appuie sur ce principe a été introduit dans la mathématique par un savant italien du xvi'= siècle, Francesco Maurolico, qui en a souligné lui-même

1. A Treatisc of universal Algebra, vol. I, 1898, p. 6. Cf. Coiiturat, Revue de métaphysique, 1900, p. 32.3.