Poincaré, Revue de métaphysique, 1905, p

Brunschvicg. — Les étapes. «Ja

toute la nouvc-aulé K Les anciens ne l'ont pas connu, ou, en tout cas, ils n'en ont pas fait état : par sa nature propre, leur logique tendait à ne considérer que des règles relatives à des classes déterminées d'objets finis, tandis que dans la formule de Maurolico il y a un principe de progression qui déborde les cadres de la représentalion slalique et réaliste. C'est même ce contraste entre les exigences de l'intuition et la loi de progression, qui a introduit un certain flottement dans les explications des mathématiciens contemporains relatives au procédé de Maurolico. Non que le fond des idées ne soit clair et assuré, qu'il y ait là quelque difficulté technique à éclaircir; la confusion vient d'une terminologie malencontreuse, mais qui suffisait à masquer la signification philosophique de l'opération.

Il est arrivé, en effet, que l'on a voulu voir dans le procédé de Maurolico un procédé d'ordre inductif, et on a cru devoir le rattacher à un principe d'induction mathématique : induction successive, disait de Morgan, ou, suivant la formule en usage, induction complète. Or, si l'on tient à écarter toute équivoque, il est nécessaire de bien montrer qu'il ne saurait s'agir, à aucun degré, d'induction; car il n'y a en aucune façon passage du particulier au général tant du moins que Ton conserve aux mots particulier et géne'ral le sens qu'ils ont dans l'ordre des concepts génériques. Ce qui détermine les concepts génériques, c'est le processus d'abstraction qui, de l'observation des réalités individuelles, conclut à une essence commune. Par exemple, tous les personnages qui, dans l'histoire de France, ont porté le nom de Louis I", de Louis II, etc., jusqu'à Louis XVI, ayant exercé la royauté, on va du particulier au général, lorsqu'on pose en principe que semblable dénomination désigne les souverains efTectifs de la France. Et de l'existence de personnages historiques connus sous les noms de Louis XVII et Louis XVIII, on déduit qu'ils ont tous deux occupé le trône de France; ce qui est vrai pour Louis XVIII, faux pour Louis XVII. On a été d'une règle générale à un cas particulier; mais cette règle générale, n'ayant été obtenue que par l'observation d'un certain nombre de cas particuliers, n'est, en définitive, qu'un résumé des particularités déjà observées, lequel n'offre aucune espèce de garantie en présence d'une particularité nouvelle.

Tel est le processus de l'induction proprement dite. Quand on

1. Voir la préface des Arithmeticorum libri duo (écrits en 1357, publiés à Venise en 1373). citée par G. Vacca : Sur le principe d" induction mathématique. Revue de métaphysique, 1911, p. 30.

LK PRINCIPi; DIT 1) INDICTION COMPLETE 483

s'y rrfôro pour dôliuir la déd iiclioii arilhniélique, on scxpose à l'aire fond sur l'illusoire ou sur riueeilaiii, exaetement comme autrefois Taine se referait à riiallucinalion pour définir la porceplion normale, s'obligeanl ainsi à justifier le passage du faux au viai par l'invocalion d'une linalilé mystérieuse de la nature '. Il est facile, d'ailleurs, de retrouver l'origine de ce renversement dans Tordre natund des idées. Si on parle d'induelion arilliméliijue, c'est qu'on imagine 1, 2, 3,... 16, l"?, etc., comme des réalités partiindiéres que l'on assimile à Louis I*^"", Louis 11,... Louis XVI, Louis XVIL Or cette assimilation, dont nous avons eu occasion de rappeler les racines séculaires, et qui se justifie d'ailleurs, nous allons le voir, pour une théorie comme celle de la divisibilité, ferait ici contresens. Louis !"'■ et Louis II, Louis XVII et Louis XVIII, sont des individus dont l'existence et dont la destinée sont nettement observables, indépendamment de la classe où leur appellation usuelle les a fait rentrer, tandis que dans les nombres il n'y a rien qui marque les degrés d'abstraction ou de généralisation. Ce qui est commun à tous les nombres, c'est le processus qui les constitue chacun en particulier; de sorte que les raisonnements qui reposent sur les lois de ce processus s'appliquent nécessairement à ces nombres puisqu'ils dérivent des conditions sans lesquelles les nombres ne seraient pas engendrés. Le principe (ïinduction complète, dont on a décrit l'application particulière à tel ou tel nombre déterminé sous le nom de raisonnement par récurrence, est un principe de déduction progressive dont l'application est assurée a priori du succès puisque les nombres sont les produits de celte déduction progressive. En d'autres termes, affirmer qu'une propriété qui se transmet de 0 à 1, de n à a-t-1, vaut pour l'universalité des nombres, c'est passer, suivant la terminologie ingénieuse des logisticiens, d'une génération nécessaire et idéale à un héritage nécessaire et idéal. Le plan dans lequel la pensée se meut ne rencontre pas l'induction vulgaire, qui aurait affaire à des individus réellement engendrés et où la même question se poserait sous la forme suivante : Le fils de Louis XVI a-t-il été son successeur au trône de France?

Les logisticiens ont donc raison de soutenir, contre M. Poin-

1. Voir les remarques judicieuses de Garuier sur la thèse manuscrite de Taine : les Sensations {Il mai 1832) : •< qu'est-ce que c'est encore que la nature (|ui a ïinlention de nous faire connaître l'extérieur et qui emploie pour cela un moyen imjénieux'? » H. Taine, Sa vie et sa correspondance, t. I, 1902, p. 230.

caré *, qu'il nest pas besoin d'un principe synthétique nouveau pour passer du procédé qui définit les nombres entiers finis au procédé de raisonnement qui s'applique à ces nombres finis, pour démontrer l'associativité et la commutativité de l'opération additive — ou encore, suivant l'exemple même donné par Maurolico et par de Morgan -, la formation des carrés consécutifs par la sommation des nombres impairs.

Mais il ne servirait à rien de dire que l'application du procédé n'est que la conséquence analytique de la définition du nombre entier, puisque la méthodologie logistique a fait heureusement justice de l'importance philosophique autrefois conférée à l'idée de définition. Pàehl cite ce mot profond de Lambert : « La base de la science, ce n'est pas la définition, mais ce qu'il est nécessaire de savoir au préalable pour constituer la définition ^ » Le principe de la synthèse est déjà dans le dynamisme intellectuel qui crée la série des nombres naturels; et c'est pourquoi il s'étend comme de lui-même à celles des combinaisons arithmétiques qui sont du même ordre que les opérations constitutives, addition ou multiplication.

Section C. — La division.

299. — Si l'on commence par supposer que l'arithmétique doit être la conséquence purement logique d'un principe posé a priori, on comprend que le débat philosophique se soit concentré sur la nature et sur la valeur de principe d'induction complète. Mais si l'arithmétique est une science capable de réfléchir sur ses notions fondamentales et d'en approfondir les caractéristiques objectives, il se peut que la vérité scientifique soit capable d'une extension qui déborde le cadre de l'induction complète; et c'est ce qui se produit en fait dès que l'on considère la soustraction et la division.

Pourtant, d'un point de vue purement formel, il n'y a là rien qui soit proprement nouveau. Puisque l'addition et la multiplication sont en réalité des relations primitives qui sont antérieures à la conception du nombre comme tel, ces relations conduisent immédiatement à la relation inverse. Dire que trois plus un constitue quatre, c'est dire que quatre moins un constitue

1. Voir eu particulier Couturat. Pour la logistique. Revue de métaphysique, 1906, p. 249.