CHAPITRE XXII LES RACINES DE LA VÉRITÉ GÉOMÉTRIOUE

309. — A commencer par Gauss', la plupart des mathématiciens du XIX'' siècle ont établi une séparation radicale entre l'arithmétique et la géométrie. La première aurait une vérité du type logique, dérivant de la pensée abstraite; la seconde une vérité du type physique, qui s'appuie sur l'expérience. La preiiuère appartiendrait au groupe des mathématiques pures; la seconde au groupe des mathématiques appliquées.

Pourtant, quand on y regarde de près, il semble bien difficile de maintenir à l'intérieur même des mathématiques la distinction d'une partie pure et dune partie appliquée.

Si les analyses précédentes sont exactes, rien ne répond moins que l'arithmétique à l'idée d'une discipline constituée par la seule mise en œuvre du procédé déductif. La mathématique pure, au sens rigoureux du mot, serait une promotion de la logique formelle; elle se bornerait à traiter de renchaînement des propositions, sans considérer leur vérité, ou même leur signification intrinsèque. Sa caractéristique serait, suivant M. Russell, « qu'on n'y sait ni de quoi on parle, ni si ce qu'on dit est vrai - ». Une telle discipline pourra, sans doute, être tirée par abstraction de la mathématique positive; elle ne saurait s'y substituer sans que la science dégénère en une symbolique toute verbale. D'autre part, si l'on veut chasser toute équivoque, il convient de parler d'applications des mathématiques plutôt que de

1. Voir le passaj^e d'une lettre à Bessel du 9 avril 1830, que Kronecker cite en l'approuvant (Ueber den Zahlbegriff in philosophische Aufsâke Ediiard Zellcr gewidinet. op cit., p. 26o, note 2) : « Wir niùssen in Deniuth zugebcn, dass, wenn die Zahl bloss unsers Geistes Product ist, der Uaum auch ausser unserm Gciste eine Realitiit hat, der w\t a priori ihre Gesetze nicht vollstàndig vorschreiben kônnen. » (Gauss, Werke, t. Vlll, Gôttingcn, 1900, p. 201).

2. « Thus mathemalics inay bc defined as the subject in which we never know \vhat \ve are talking about, nor whelher wbat we are saying is true. » International monthly, 1901, p. 84.

Brckschvicg. — Les étapes. 32

mathématiques appliquées; et les applications demeureront, par définition, extérieures aux mathématiques elles-mêmes. Les nécessités de la vie commerciale, la répartition des terres, les expériences du physicien, du biologiste ou même du psychologue, les observations statistiques du sociologue, les spéculations du joueur, du météorologiste ou du philosophe sur la probabilité, conduisent à mettre des problèmes en équations; ils suggèrent ainsi de nouvelles questions, et provoquent des solutions positives; mais la découverte et la démonstration de ces solutions relèvent de la mathématique proprement dite.

Déjà, en nous efforçant de saisir les caractères spécifiques de cette mathématique dans les opérations élémentaires de l'arithmétique, nous avons été amené à écarter les idoles de Févidence logique et de l'évidence sensible, à fonder la réalité du savoir sur une adaptation réciproque de l'expérience et de la raison, qui fait de l'expérience une intelligence en acte, qui assure à la raison la possession des choses. Peut-être cette conclusion nous permettra-t-elle d'aborder d'un esprit plus libre et sur une base plus large l'étude de la vérité géométrique. Nous n'aurons pas à décider que cette vérité est ou a priori ou a posteriori, comme si l'espace devait être déduit tout entier des lois de la pensée ou reçu tout entier à titre d'intuition empirique, comme s'il était nécessaire d'en épuiser les caractères dans un système unique de déterminations. Notre tâche sera de suivre, dès son point d'attache avec la réalité, le mouvement spontané de l'intelligence qui a créé l'être spatial, et de définir entre le monde abstrait de la logique et l'univers concret de la physique la place qui appartient à l'objet de la géométrie.

Section A. — Création de l'espace euclidien.

ORDINATION DU MILIEU DE l'aCTION

310. — Le premier problème serait de fixer le point de départ de notre analyse. Il est clair qu'il n'y a pas d'autre perception effective de l'espace que celle des corps qui le remplissent; et que la perception des corps a pour contenu des sensations, en particulier des sensations visuelles et tactiles.

Or, ces sensations sont-elles données comme étendues? La question est de celles que les psychologues discutaient avec le plus de passion, il y a quelque trente ans. On ne rencontrera guère de contestation aujourd'hui en remarquant qu'elle était

ORDINATION DU MILIKl' DK L ACTION 499

mal posée. Nous ne réussissons pos, en efl'et, à nous représenter, solides données lacliles, soil des données visuelles, qui seraient inélendiies, ou [)lus, généralement même, à imaginer un élément d'exj^érience qui serait en dehors de l'espace. Il n'y a pas plus de contraire ù l'idée d'espace qu'à l'idée d'expérience; il ne peut y avoir de contraire qu'à certaines déterminations de l'étendue. Kn lait, lorsqu'on prétendait que les données immédiates de la conscience sensible étaient inétendues, on voulait dire seulement ((u'elles n'étaient pas d'elles-mêmes ordonnées dans un milieu homogène et continu; et, une fois explicitée, la thèse est à peu près évidente. Seulement, elle cesse d'exclure ce que l'on prenait pour la thèse opposée, à savoir que les sensations de tact ou (le couleur sont étendues à leur manière.

Les couleurs sont des taches sans forme définie, sans orientation, sans place fixe. Nous les concevons par comparaison avec les phosphènes errant devant les yeux qui se sont laissés éblouir par le soleil; il ne nous est pourtant pas possible de nous représenter des taches qui n'aient pas un rudiment d'étendue, pas plus qu'il ne nous est possible de nous représenter des sensations tactiles qui n'olTriraient pas une sorte d'intensité massive, inséparable de l'étendue.

Sans doute, puisque ces sensations n'apportent avec elles aucune juxtaposition, aucun ordre de connexion, nous ne pourrons, semble-t-il, pour les relier entre elles, recourir qu'aux formes d'association entre images, et nous les verrons défiler dans ce tourbillon interne qui s'appelle continu psychologique. Mais ce continu psychologique n'existe, à vrai dire, que pour le psychologue lui-même; il naît de l'attitude abstraite qu'il adopte en eifaçant un à un les divers objets de sa pensée et en évoquant par une sorte de divination l'image d'une cœnesthésie primitive. En fait, les variations de la vie consciente sont inséparables des efforts musculaires et des mouvements que l'être accomplit. Or l'action d'un être intelligent constitue naturellement une série de moments qui présentent un rapport nécessaire de subordination : s'armer pour la chasse, courir en plaine, tirer sur le gibier, le ramasser et le ramener. Les notions de connexion logique, d'ordre irréversible, sont donc impliquées dans la notion de l'action. C'est notre action qui sous-tend aux états de conscience un réseau d'objectivité : la donnée visuelle constitue l'objet lorsqu'elle s'accompagne de la donnée tactile, lorsqu'au terme du mouvement pour s'emparer de l'objet les muscles des yeux amènent la convergence et l'accommodation des rayons visuels, et nous fournissent ainsi des images en cor-

bOO LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE

relation avec les images tactiles. La satisfaction d'atteindre le but est liée à la représentation d'un faisceau de sensations tactiles et visuelles; et ce faisceau, en tant qu'il est précisément le but atteint par opposition aux moyens mis en œuvre, aux mouvements volontaires qui ont été effectués, c'est Vobjet. Plus nous deviendrons capables de varier et d'assouplir les mouvements de notre corps, plus nous aurons, pour les différents besoins de notre organisme, à nous approprier, à déplacer, à manier des choses différentes, et plus nous apprendrons à reconnaître les choses comme points de repère fixes. Ces points de repère, à l'occasion d'un nouveau contact ou d'un nouveau spectacle, rappellent dans la mémoire les faisceaux déjà éprouvés, évoquent par association ce que nous pouvons voir ou toucher à k suite de tels mouvements ; ils finissent par se détacher de telle ou telle expérience particulière où ils ont été donnés d'abord ; ils deviennent pour l'esprit la réalité permanente qui est dans sa substance l'univers lui-même, et qui apparaît à l'imagination métaphysique comme la source d'où proviennent les sensations de lumière, de pression, de température, de son, etc.