LA LIGNE DROITE

314. — L'opération élémentaire qui doit fournir limage la plus simple est le trait. La main se pose quelque part, elle s'arrête quelque part; du point de départ au point d'arrivée, l'esprit n'a pas eu conscience d'une division ou d'un changement dans le mouvement accompli par la main. Il n'a donc pas eu de raison pour soupçonner que le tracé reliant les deux points ne soit pas une ligne uniforme et unique, une droite, pouvant servir à mesurer la distance. En fait, nous savons par quel détour la géométrie a été conduite à mettre en question l'évidence qui semble appartenir à l'unicité de la droite entre deux points ; et

b04 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE

nous comprenons avec quelle facilité, avec quelle sécurité l'esprit devait se fier aux données de l'intuition.

Dans rétablissement des réalités initiales auxquelles se suspend le travail du savant, le principe de raison s'exerce toujours sous forme négative; à l'expérience est réservé le rôle positif. Que, dès le début de la spéculation géométrique, l'expérience soit intervenue d'une façon décisive, c'est ce qu'atteste la définition de la droite conservée dans le Parménide de Platon : « On appelle droite, la ligne dont le milieu est placé sur le trajet entre les deux extrémités*. » Cette définition n'est pas l'invention ingénieuse d'un théoricien; elle se réfère à la pratique. Afin de s'assurer de la rectitude de la ligne tracée, on s'arrange pour placer l'œil à l'extrémité de la ligne, comme fait le sergent pour « aligner » ses hommes. Une fois corrigées toutes les déviations que l'on a pu apercevoir, la ligne se réduit à un point, et elle est droite.

Encore une fois l'expérience est ce qu'elle est naturellement pour un être dont l'instinct spécifique est l'intelligence; elle est une activité vérificatrice. Une expérience comme celle que nous venons de décrire, confère une valeur de vérité à la liaison entre l'unité du trait et l'unité du tracé; elle constitue ainsi l'espace scientifique, l'espace qui sera, par exemple, l'objet de la géométrie projective. En môme temps, elle permet à la ligne de direction unique, à la droite, de devenir instrument de contrôle. Qu'on superpose la ligne, déjà droite pour l'œil, à la ligne dont on veut éprouver la rectitude : si aucune anomalie n'apparaît, celte nouvelle ligne devient droite à son tour. La rectitude, se communiquant alors de ligne à ligne, semble indépendante de l'opération initiale qui la fonde dans l'activité de l'esprit. Non seulement elle devient, comme on le voit par la définition d'Euclide, une propriété intrinsèque de la ligne, mais encore à cette possibilité d'amener les droites en superposition est liée la notion fondamentale de la géométrie en tant que science de la mesure : l'égalité. De même que la série des nombres naturels, à quelque moment qu'on l'interrompe, a un nombre, et est la mesure de toute combinaison numérique, de même la droite, à quelque moment qu'on en arrête le tracé, est une distance, et devient la mesure de toute distance.

1. 137 E : Kal \i.r,-i s-jO-j vî, o-j îv to (i;<7ov àasorv toïv isyi-:0'.^/ in'.nooabv/ r,.

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