ROTATION I;T TRANSLATION

315. — L'opi'ratioii de la superposition est encore statique, elle reconnaît l'égalité d'éléments rectilignes, une fois mis au contact; mais elle est étrangère au déplacement qui les a amenés en contact. Pour constituer ce qu'on pourrait appeler l'étendue de l'espace, c'est-à-dire pour faire de l'espace un réseau de relations métriques où les diiTérents complexus de lignes soient compris avec la spécificité de leurs figures, il faut que l'égalité soit devenue en quelque sorte dynamique; et, pour cela, il faut faire intervenir le mouvement de rotation et le mouvement de translation. Comme Iloûel le remarque avec profondeur, « c'est par suite d'une confusion d'idées que plusieurs géomètres veulent bannir des éléments de la géométrie la considération du mouvement. [Le] mouvement géométrique qu'il faut se garder de confondre avec le mouvement dans le temps, objet de la cinématique, ne peut pas dépendre d'une autre science que de la géométrie pure ' ».

En dépit des efforts d'Euclide pour traduire sous une forme imaginative et réaliste, parallèle à la logique ontologique d'Aristote, le dynamisme intellectuel de la science, Timportance primordiale des mouvements est manifeste dans la géométrie d'Euclide. Dans le postulat IIl, qui permet de « décrire un cercle de tout centre et de tout rayon », nous avons eu déjà l'occasion de reconnaître un principe d'égalité mouvante : une droite tournant autour d'une de ses extrémités engendre une série de tracés successifs, jouissant de cette propriété qu'ils seront susceptibles d'être superposés les uns aux autres et qu'ils fourniront des images exactes d'eux-mêmes. On dira sans doute que ces lignes égales sont des rayons si on suppose la préexistence du cercle; mais, en fait, le cercle est engendré par la rotation de la droite autour d'une de ses extrémités supposée fixe. Il est donc vrai, suivant la formule célèbre qui est au début de Y Esprit des lois, qu'avant que les cercles fussent tracés les rayons étaient égaux; mais cela ne veut pas dire qu'on relie par là dans l'abstrait une essence et une propriété; cela signifie qu'on pose la condition de l'existence de l'objet : l'égalité des rayons, inhérente au mouvement de rotation de la droite génératrice, est constitutive du cercle.

1. Essai critique sur les principes fondamentaux de la géométrie, 2» édit., 1883, note II, p. 70. Cf. Couturat, Les principes, p. 191.

Du point de vue où nous nous sommes placé, et qui nous permet crengendrer la représentation géométrique de Tespace sans impliquer dans cette genèse la démonstration d'une nécessité logique, la notion cV angle se présentera naturellement à nous : il suffit qu'on retienne comme simultanées deux des positions successives que la droite a occupées au cours de sa rotation.

De la même façon, nous pouvons conférer un caractère positif à la notion de parallèles, en substituant à l'image des lignes parallèles l'acte générateur du parallélisme lui-même. Le processus de pensée est des plus simples à décrire. Ainsi, conformément à des indications déjà données par Bolyai ^ et par Méray -, M. Bourlet écrit. « Soit P un plan fixe, appelé plan de glissement et D une droite fixe de ce plan que nous nommerons glissière fixe. Soit, d'autre partyj, un plan mobile et d une droite de ce plan mobile, que nous appellerons glissière mobile. Si l'on place le plan p sur le plan P de façon que d coïncide avec D, on pourra faire glisser le plan mobile p sur le plan fixe P, de telle sorte que la glissière mobile d glisse sur la glissière fixe D. Tout point 772 lié invariablement au plan mobile p sera entraîné avec lui et sera animé d'un mouvement que nous nommerons mouvement de translation rectiligne. Nous avons donc bien défini de la sorte le déplacement de translation sans faire appel à la notion de parallélisme et en ne supposant au plan et à la droite que des propriétés qui sont admises dans n'importe quelle géométrie élémentaire. Nous dirons alors que deux droites D et D' sont parallèles si ce sont les deux positions successives d'une même droite dans un déplacement de translation rectiligne. Rien n'est plus facile que de représenter cela aux enfants sous une forme plus concrète. Le plan P c'est la planche à dessin, la droite D c'est le bord de la règle maintenue à plat sur la planche, le plan p est le plan d'une équerre, la droite d est le bord de cette équerre qui glisse le long de la règle ^. »

Par les conditions mêmes dans lesquelles s'opère ce déplacement rectiligne, il n'y a pas un grand effort à faire pour intervertir les rôles des deux glissières. L'extrémité initiale de la glissière que nous avons d'abord appelée fixe, parcourant successivement tous les points de la glissière d'abord appelée mobile,