Cf. Hoûel, op. cit., p

2. Nouveaux éléments de géométrie, Dijon, 1903, n° 38, p. 20.

3. Bulletin de la Société française de philosophie (séance du 21 mars 1907), 7° année, n° 6, p. 236.

LR THÎ:ORfeMK DIT DE TIIALÈS 307

délormiiKM'a une série de parallèles, cl finaleinenl periiicltra d'élahlir à Taiilre cxlréniilé de la glissière mobile une nouvelle droite qui aura exaelement le caractère de la première glissière lixc. Le mouvement de translation rectiligne pourra être conçu comme s'accomplissanl alors entre deux glissières fixes; en vertu de l'homogénéité de ce mouvement, ou, plus exactement peutêtre, parce qu'il n'y a pas de raison d"y soupçonner aucune anomalie ou irrégularité, à chacun de ces points darrêt qu'il nous plaira de retenir dans ce mouvement, on obtiendra un quadrilatère dont les côtés non adjacents sont égaux et parallèles, on obtiendra le parallélogramme.

LE THEOREME DIT DE THALES

31G. — Nous voyons maintenant par quels degrés Tesprit se rend capable de constituer rexpérience arithmético-géométrique qui a fait de la science de la mesure spatiale la base d'une science universelle. La forme caractéristique de cette expérience se manifeste dans le « théorème de Thaïes ». 11 convient d'en rappeler ici les moments successifs.

Tout d'abord, on joint deux points pris sur les deux côtés BO, CO d'un angle; on déplace parallèlement à lui-même et dans le sens du sommet O de l'angle, le ° Bv,b,b„b,„b„b, b segment ainsi tracé, de façon à obtenir une Kg. 13.

série de segments de plus en plus petits

(fig. 13). Il nous est loisible de ne retenir pour les tracer effectivement que les positions occupées par ces segments aux points B,, B,„ B,„, B,v, B,, Bv,, obtenus par une division de la ligne OB en sept parties équivalentes. Il est facile de voir que les sept segments parallèles déterminent sur l'autre côté de l'angle, c'est-à-dire sur OC, sept segments OCm, Cm Cv, C, C,v, C,v C„„ Cm C„, Ca C„ C, C, qui sont eux-mêmes équivalents entre eux. En effet, si l'on trace de chacun de ces points Cv,, Cv, etc. une parallèle à OB, on forme une série de parallélogrammes dont les côtés sont respectivement égaux, et une série de triangles OBvi C„, Cv, Dv Cv, etc. Or ces triangles sont tous superposables à l'un d'entre eux, OBv, Cv,. En effet, il suffit d'une double translation rectiligne pour amener les côtés de ces triangles à coïncider avec les directions de l'angle OCviBv,; .d'autre part, les côtés Cv, Dy, Cy D,v étant tous égaux au côté OBv,,

c'est du point 0 et du point By, que partiront les directions des côtés que Ton superpose aux côtés de l'angle 0 Gy, Bv, ; il est donc inévitable que les troisièmes sommets coïncident.

Nous pourrons prendre ainsi sur chacune des droites OB, OC un segment correspondant au nombre de divisions que nous voudrons, et mesurer le rapport de ce segment à la ligne totale. Par exemple, si nous avons :