A, 486. AKB, III, 336, tr. Ba II, 93 et TP

2. Poincaré, Journal des Savants, 1902, p. 26o. Vide supra, § 193.

ment à délerminer les éléments logiques dont se trouve composé le système classique de la g-éométrie; le problème qu'elles permettent de résoudre ne paraît pas être celui qui nous préoccupe, et qui est d'atteindre les hypothèses spécifiquement géométriques incluses dans tel ou tel système de géométrie, de fixer le degré de vérité qui doit lui être reconnu. Seulement la distinction des deux problèmes a-t-elle une portée effective? Est-il permis, sans pétition de principe, d'introduire une ditïérence de nature entre les hypothèses tirées d'une supposition abstraite, et qui seraient proprement logiques — et les hypothèses directement liées à la considération de l'espace comme tel, et qui seraient proprement géométriques, de faire rentrer dans les unes par exemple la notion de l'espace non archimédien, dans les autres la notion de l'espace proprement non euclidien (c'està-dire lobatschewskien ou riemannien).

Nous n'avons qu'un moyen de répondre d'une façon positive; c'est de nous référer à l'histoire. Considérons le travail CiTectué par les rédacteurs des Eléments depuis Euclide jusqu'à Legendre, Lïdée de récuser tour à tour chacun des principes de la géométrie classique, afin de mettre au jour la structure logique du système, ne leur était assurément pas venue. Ils n'ont pas douté que la géométrie ne fût une science vraie, s'appliquant exactement à une réalité qui est l'espace; ils ont eu le sentiment de l'harmonie naturelle qui s'établit entre le cours de la démonstration et les données de l'intuition. Ils se sont efforcés de transformer cette harmonie naturelle en nécessité rationnelle, mais sans perdre contact avec l'intuition spatiale. Dès lors, si leur tentative a fait surgir d'insurmontables résistances, si elle a révélé des lacunes inévitables, nous pouvons être assurés que ces résistances se produisent, que ces lacunes apparaissent à l'intérieur même de la science spécifiquement géométrique, qu'elles procèdent directement de la connexion siii generis qui relie le raisonnement scientifique à la représentation de l'étendue.

Et il sera aisé de dire sur quels points précis portent ces résistances et ces lacunes. Nous n'aurons qu'à rappeler les tentatives signalées par Proclus : d'une part pour substituer à la définition euclidienne de la droite, qui est obscure et inutile, le lemme qu'Archimède postule au début du Traité de la sphère et du cylindre — « des lignes qui ont mômes extrémités la droite est la plus courte ' » — d'autre part, pour donner une