Revue Néo-Scolastique, 1896, p. 2.50, n

l'interprétation Di: LA SOLUTION 523

l'infini ou le /rro, une puissance « Iransinluitive », un dynamisme d'ordre inlelleclucl; et c'est pourquoi la vérité de rcspace est la vérité d'un cas-limite, qui entraîne avec elle la vérité de tout son « voisina^-e ».

Ouoiquo cette conclusion soit assez dure à concevoir pour la psychologie rudimcntaire à laquelle la théorie des facultés nous a en général habitués, il n'est pas malaisé de reconnaître qu'elle trouve sa confirmation dans l'observation psychologique. Quand nous croyons parcourir une droite euclidienne, nous sommes dupes dune illusion vulgaire; nous n'avons jamais marché en ligne droite, nous avons bien plutôt suivi l'arc d'un grand cercle sur la sphère terrestre. Nous n'avons jamais vu de droite euclidienne; toute ligne qui procure à l'œil une impression ofï'ective est un faisceau de droites euclidiennes. Le processus inconscient de l'esprit consistera donc à s'emparer de celte expérience grossière et limitée pour construire un plan de représentation idéale où tout se passe comme si le rayon de la sphère terrestre augmentait jusqu'à devenir infini, comme si l'épaisseur d'une droite visible diminuait jusqu'à devenir nulle.

Parce que ce processus est inconscient, il est inévitable que le produit en apparaisse comme la propriété intrinsèque d'une réalité donnée. De là surgit la difficulté théorique à laquelle l'homme se heurte, dès qu'il se propose la tache en apparence la moins malaisée : se décrire à lui-même les premiers objets de son espace, deux droites parallèles ou même deux droites en général. Car il devrait pouvoir dire que deux droites, si loin qu'on les prolonge, ou ne peuvent avoir aucun point commun, ou, dans le cas où elles se coupent, ne peuvent en avoir qu'un. Or de telles affirmations enveloppent immédiatement la considération de l'infini.

329. — L'intervention de l'infini explique donc ce paradoxe que les relations caractéristiques de l'espace euclidien sont à la fois suggérées par l'expérience et confirmées par elle, sans être à proprement parler objets d'expérience. Elle explique encore le second paradoxe, que la géométrie euclidienne peut être vraie, sans qu'il faille nier pour cela la vérité de systèmes différant du système euclidien, mais d'aussi peu que l'on voudra. C'est que

I. Cf. Delbœuf, art. cit., p. 383 : « Sans conteste, les systèmes de géométrie dus à Lobatschewsky et à Riemann sont plus généraux et plus compréhensifs que la géométrie dite euclidienne. Dans chacun d'eux, on passe d'un système à un autre par un simple changement de valeur du paramètre et de la courbure, et de l'un comme de l'autre, on tire la géométrie euclidienne en faisant les ravons de courbure infinis » (ou la courbure nulle).

la forme du jugement disjonctif, qui pour le sens commun apparLieudrait évidemment à la vérité, est née en réalité de la considération de données finies et discontinues, et ne s'applique qu'à elles. Alors, nous l'avons vu à propos du nombre des dimensions de l'espace (et on le verrait encore, suivant l'exemple indiqué par Cournot, à propos « du nombre des angles solides d'un polyèdre ajouté au nombre de ses i'aces, dont on sait qu'il donne une somme supérieure de deux unités au nombre de ses arêtes ' »), une détermination vraie est exclusive de toute détermination qui n'est pas elle : si par malheur un choix était impossible à faire entre plusieurs déterminations, il faudrait désespérer de donner un sens au mot de vérité. Mais il n'en est plus de même quand nous avons franchi le domaine du fini et du discontinu; il est de l'essence même du passage à la limite de comporter en quelque sorte une certaine zone de vérification à l'intérieur de laquelle il y a place pour plusieurs interprétations légitimes, à l'intérieur de laquelle, pour mieux dire, la légitimité de l'une est liée à la légitimité de l'autre. La découverte des géométries non euclidiennes a révélé que la constitution de l'espace euclidien supposait un passage inconscient à la limite. Sous la simplicité apparente de ce qui se présentait comme donnée intuitive, elle a décelé le dynamisme complexe qui a permis à la géométrie euclidienne de dépasser le calcul des nombres rationnels et de fournir l'équivalent d'une arithmétique générale. Le double eflort que nous avons fait, dans les deux sections de ce chapitre, pour suivre d'une part le mouvement spontané de l'esprit qui aboutit à la constitution de la géométrie classique, d'autre part pour en éclairer la nature et la portée à la lumière des géométries nouvelles, a pour résultat non de ruiner la valeur de la géométrie classique, mais d'assouplir notre conception de la vérité pour la mettre en harmonie avec l'extension effective de la science.

Section C. — L'usage de l'infini dans les mathématiques.