Gournot, Essai sur les fondements, § 328, II

LA (illANDiaU IRRATIONNELLE 525

duniio uno Ijasc suffisante pour résoutire le problème du rapport entre la géométrie et le calcul infinitésimal, ou plus exaciemenl pour recueillir l'enseignement cjue le développement de la malliémaliquc nous apporte à cet égard.

Deux faits, nous l'avons vu, dominent ce développement. D'une part, c'est par la géométrie que la considération d(î l'intini s'est introduite dans la science positive, et il y a là tout autre chose qu'un accident de riiisloire : à isoler l'analyse dans un formalisme abstrait, on risque de faire dégénérer le passage i» la limite et la détermination de la grandeur irrationnelle en symboles ou en fictions, dépourvues de toute valeur de vérité. D'autre part, c'est en s'arrachant à la tyrannie de l'intuition géométrique, on s'iniposant des méthodes autonomes de définition et de démonstration, que l'analyse motlerne est devenue un modèle de rigueur et de fécondité. Ces deux ordres de faits seraient sans doute contradictoires, si on voulait en tirer des conclusions absolues, si on se croyait tenu d'opter entre le primat de l'intuition géométrique et l'autonomie entière de l'analyse. Mais les études que nous avons faites nous fournissent, semble-t-il, le moyen de les restreindre et de les éclairer tout à la fois l'un par l'autre.

331. — En retraçant l'évolution de la philosophie mathématique depuis les premières spéculations infinitésimales du temps de Démocrite ou de Zenon d'Elée jusqu'aux découvertes d'un Cauchy ou d'un W'eierstrass ', nous avons suivi la phase de grandeur et la phase de décadence par, lesquelles a passé la doctrine de l'intuition géométrique. Parce qu'ils faisaient fond sur cette intuition, Eudoxe a pu comprendre dans une théorie générale de la similitude aussi bien les rapports incommensurables que les rapports rationnels, Archimède a pu arriver à la mesure exacte d'une aire finie par la méthode dexhaustion, Cavalieri a pu comparer des aires en substituant des lignes à des surfaces supposées d'une hauteur infiniment petite. Ces succès pratiques ont conduit, ainsi que l'a montré l'exemple de Pascal, à la fiction d'une faculté distincte de l'imagination et qui aurait un objet inaccessible à la raison. Or une telle intuition est nécessairement une « maîtresse d'erreur », puisqu'elle nous invitée trouver dans la réalité ce qui effectivement procède d'un dynamisme transinlidtif. En tant que la ligne donnée dans l'intuition a une certaine épaisseur, la géométrie des indivisibles a bien pu s'en servir comme d'un élément superficiel; mais, à cause de