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En ce sens, l'analyse moderne a conquis son autonomie; mais cette indépendance technique, qui suffit au mathématicien, ne saurait, pour le philosophe, se confondre avec l'indépendance absolue. Les difficultés inextricables qu'a soulevées l'arithmétisme montre quel danger il peut y avoir à perdre le souvenir du processus qui a permis d'atteindre les notions fondamentales. Tant que nous ne disposerons que de combinaisons numériques, nous pourrons bien définir le nombre irrationnel à l'aide d'une

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>éri(î (le nombres rationnels, ou, comme le veut M. iJedekind, par nne coupure pratiquée dans l'ensemble des nombres rationnels ' ; mais (jue celte délinition soit vraiment constitutive d'une réalité malliématiquc, (juc la limite existe, c'est ce (ju'on ne saurait établir sans franchir l'horizon des symboles.

Le problème serait insoluble, à peine la position en serait-elle intellif^;iblc, si la création de l'espace i^éométrique n'avait été au devant des processus méthodiques et réfléchis de l'intelligence, si elle ne lui avait présenté, comme déterminés exactement, les points qui correspondent à la limite d'une série convergente, ou les aires qui se mesurent par la sommation d'une série convergente.

Il n'y a donc pas lieu de séparer le processus arithmétique qui constitue du dedans le nombre irrationnel, et la représentation spatiale qui en établit l'existence mathématique. Leur unité fait la vérité qui est la racine de la géométrie aussi bien que de l'analyse. Encore une fois, la vérité se définit comme connexion. Seulement la vérité arithmétique est la connexion de combinaisons entre termes discrets et intuitions discontinues; elle rentre naturellement dans des cadres nettement déterminés, elle satisfait aux oppositions tranchantes des principes logiques. La vérité du nombre irrationnel, qui est aussi la vérité proprement géométrique, est d'un type singulièrement plus subtil : elle est une connexion entre le dynamisme implicite qui dans notre représentation de l'espace revêt l'apparence dune intuition simple, et le dynamisme explicite qui se retrouve dans la définilion abstraite de la limite-.