EMPIRISME ET RÉALISME

333. — En nous adressant aux relations spatiales pour mettre en évidence l'exacte détermination de ces grandeurs irrationnelles que le langage rigoureux de l'analyse résoudra ensuite en

1. Dedekind, Steligkeit und irrationale Zahlen, Braunscliweig, 1872, § 4 p. 12. Cf. Couturat, De l'Infini mathématique p. .54 et p. 416, et Jules Taanery, Introduction à la théorie des fonctions d'une variable, 2° édit., t. I, 1904, p. 3 et suiv.

2. La liaisou de l'irralioanel et de l'infini, qui était impliquée dans les raisonnements des géomètres grecs sur les incommensurables, apparaît déjà explicite dans l'Arithmetica intégra de Stifel (Nuremberg, (1644), qui en tire d'ailleurs argument contre le caractère proprement numérique de la quantité irrationnelle : « Sicut igitur inflnitus numerus non est numerus, sic irrationalis numerus non est verus numerus, quum lateat sub quadam inflnitatis nebula, sitque non minus incorta proportio numeri irratioualis ad ralionalem numcrum quam inflniti ad finitum. » (f° 103'). Cf. Tropfke, op. cit., t. I, p. 1.59.

leurs éléments abstraits, nous n'avons pas cherché à suppléer aux défaillances de la pensée rationnelle par un appel à Timagination; car la géométrie, dont la vérité soutient la vérité de l'analyse, nous est apparue déjà comme une création d'ordre intellectuel. Loin de rompre l'unité de la science, nous nous sommes efforcé de saisir dans son intégralité, mais aussi dans son homogénéité, le mouvement qui fait de Fintelligence mathématique une fonction de vérité. De ce point de vue nous pouvions comprendre l'usage que la mathématique fait de l'infini, sans que nous ayons eu besoin d'aborder de face, pour les résoudre, ou tout au moins pour les écarter, les difficultés philosophiques qui sont liées à l'idée de l'infini actuel. Mais la question doit être examinée de savoir si une semblable position, légitime sans doute tant qu'on se tient dans les bornes de l'analyse classique, peut être maintenue après la constitution de la théorie des ensembles et en particulier de la théorie du transfini.

Une telle question est particulièrement délicate à élucider; car elle touche à des recherches dont la relation à la science positive est encore, pour certaines parties du moins, matière à controverse, qui ne se présentent pas avec le recul nécessaire à l'établissement d'un jugement objectif. Déjà nous avons eu l'occasion de montrer comme les travaux de M. Georg Gantor avaient contribué à étendre l'interprétation logistique des mathématiques, mais aussi comme cette interprétation avait été compromise par l'ontologie scolastique qui était le postulat de la philosophie logistique. Il s'agira de reprendre le problème afin de le poser sur le terrain et dans les termes mêmes où l'ont envisagé les savants dégagés de toute préoccupation étrangère à la mathématique.

A cet égard nous ne pourrons, semble-t-il, nous donner une meilleure base de référence que l'ouvrage de du Bois-Reymond, Théorie générale des fonctions, où se trouvent les conceptions des systèmes pantachiqiies ou apantachiqiies de points et du calcul infînitaire, qui préludent à la théorie des ensembles et à la théorie de la croissance des fonctions. Dans l'intention de rattacher les notions fondamentales de l'analyse aux formes générales de l'intelligence', du Bois-Reymond distingue deux types essentiels de doctrine. Le premier est Vempirisme, suivant lequel rien n'existe qui ne soit immédiatement objet de perception, ou qui du moins ne se ramène à l'objet perçu par des modi-