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Brcnschvicg. — Les étapes. 34

intermédiaire, comme une sorte d'idéalisme « obscur ou timide ' ». Pour son propre compte, il déclare s'en tenir à une exposition neutre où le mode fondamental d'intuition est empiriste, le raisonnement idéaliste : « langage empiriste, preuves idéalistes - ».

334. — Mais, du jour où, pour prouver que tout ensemble pouvait être bien ordonné, il a fallu, avec M. Zermelo, postuler la possibilité de choisir un élément e distingué dans chacun des ensembles E qui composent la totalité iniinie des ensembles ', les mathématiciens se sont trouvés brusquement obligés de se départir de cette neutralité, et ils ont incarné, en les suivant jusqu'au bout dans la logique de leur rôle, les personnages imaginés par du Bois-Rcymond.

Selon M. Hadamard, l'axiome est valable; mais il faut que nous sachions écarter la « question toute subjective : Pouvonsnous ordonner », pour nous demander seulement : « L'ordination est-elle possible * ? » Cette seconde question est plus générale, en elfet, que la première, et elle peut être résolue sans que la première le soit, a L'idée de détermination, disait Jules Tannery, est indépendante de la possibilité de formuler en quoi consiste cette détermination-'. » M. Hadamard applique cette distinction au problème de Zermelo : « Il n'est pas du tout évident que nous puissions, en fait, indiquer la loi qui présidera au choix de l'élément e dans chaque ensemble E. JMais où voit-on qu'une loi ait besoin de pouvoir être explicitement formulée pour exister '^ » ?

Seulement cette créance sur l'inlini — quand on ne veut plus y voir, comme jadis, une créance sur Dieu qui serait réglée dans l'éternité — ne satisfait guère les mathématiciens qui mettent leur honneur à payer comptant et qui voudraient, eux aussi, être payés comptant. M. Borel objecte à M. Zermelo que les raisonnements qui supposent « un choix arbitraire fait une infinité non dénombrable de fois... sont en dehors du domaine des mathématiques \ » Ce n'est pas tout, et le principe du doute va plus loin que ce doute initial; une infinité dénombrable d'opérations est aussi impossible à réaliser etlectivement qu'une