Mathematische Annalen, t. LX, 1905, p

EMPIRISME KT REALISME 531

infinité non dénombrablc, et par conséquent elle ne sera pas moins suspecte '. Le niatliénialicien n'a pas le droit de raisonner directement sur Tintini comme il raisonne directement sur le fini; son devoir est de ramener les raisonnc^ments sur Tinfini aux raisonnements sur le fini : « Dès qu'on parle d'infini (même dénombrable), écrit M. Baire, l'assimilation, consciente ou inconsciente, avec un sac de billes qu'on donne de la main à la main, doit complètement disparaître... En particulier, de ce qu'un ensemble est donné (nous serons d'accord pour dire, par exemple, que nous nous donnons l'ensemble des suites d'entiers positifs), // est faux pour moi de considérer les parties de cet ensemble comme données. A plus forle raison je refuse d'attacher un sens au fait de concevoir un choix fait dans chaque partie d'un ensemble... En fin de compte, en dépit des apparences, tout doit se ramener au fini'^ »

335. — Il serait difficile de souhaiter, de part et d'autre, une réflexion plus nette sur les raisons de la position prise. Est-ce à dire que le philosophe doive se borner au spectacle de cette opposition radicale? Va-t-il se résigner à enregistrer la rencontre de « mentalités y> irréductibles? Ou ne va-t-il pas chercher à la racine du conflit la trace de certains préjugés extérieurs à la science, préjugés d'ordre philosophique comme ceux que nous avons vus à l'œuvre dans les conceptions de du Bois-Reymond, et que le progrès de la science a pour effet d'éliminer.

Tout d'abord l'expérience mathématique vient restreindre la portée de l'idéalisme entendu au sens de du Bois-Reymond, en révélant des contradictions au sein de ce monde d'entités qui, tout en étant indescriptibles, étaient pourvues d'existence idéale. Ainsi M. Burali-Forti a, dès 1897, fait ressortir la contradiction à laquelle on aboutit en voulant réaliser l'ensemble de tous les nombres ordinaux (transfînis) '. Sans doute, rien n'est

1. Cf. Lel)esgup, Bulletin de la société mathématique, 1903, p. 269 : « Quand j'entends parler d'une loi définissant une infinité transfinie de choix, je suis très méfiant, parce que je n"ai jamais encore vu de pareilles lois, tandis que je connais des lois définissant une infinité dénombrable de choix. Mais ce n'est qu'une affain; de routine, et, à la réflexion, je vois parfois des difficultés aussi graves, à mon avis, dans des rai.-onnements où n'interviennent qu'une infinité dénombrable de choix, (jue dans des raisonnements où il y en a une transfinité. »

2. Ibid., p. 263. — Leibniz écrivait, à propos de la série 1 — 1 + 1 — 1, etc. : « 11 ne faut se fier aux raisonnements sur les séries infinies, que lorsqu'on en peut démontrer la vérité par les finies, à la façon d'Archimède. » Lettre à Varignon, du 18 janvier 1713. M, IV, 191.