Vide supra

plus simple que de se débarrasser de la contradiction, en faisant disparaître les objets idéaux qui étaient le sujet de cette contradiction : « L'ensemble W de tous les nombres ordinaux... devrait », suivant M. Hadamard, « être considéré comme non existant ' » ; et en effet, ajoute-t-il;, « on n'a le droit de former un ensemble qu'avec des objets préalablement existants, et il est aisé de voir que la définition de W suppose le contraire ^ ». Seulement, il reste alors à savoir ce qui devra, désormais, être considéré comme véritablement premier : sera-ce la réalité transcendante de ces objets qui sont placés au-dessus de toute atteinte effective de l'esprit humain? ou le principe de contradiction que notre pensée leur applique? « M. Burali-Forti, écrit M. Lebesgue, raisonne sur des êtres mal définis comme s'ils étaient bien définis ; or l'empiriste se demande si ce n'est pas précisément là ce qui caractérise le raisonnement idéaliste. Pour qu'un empiriste pût admettre les preuves idéalistes, il faudrait qu'on lui eût enseigné comment, avant qu'un raisonnement idéaliste ait conduit à une contradiction, il pourra s'apercevoir s'il est illégitime ou légitime^. » Bref, comme nous l'avons remarqué dans la critique du réalisme logistique de M. Russell, les antinomies cantoriennes font plus que de montrer l'impossibilité de résoudre tel ou tel problème; elles emportent avec elles la conception philosophique dont le problème est issu. De l'attitude idéaliste il ne reste que la reconnaissance vague de quelque chose qui dépasse les déterminations de la science actuelle, sorte de « réservoir » pour les conquêtes de la science future.

Dautre part, s'il fallait voir dans l'attitude empiriste autre chose qu'une règle de prudence particulièrement opportune et frappante de la part de ceux-là même qui ont manié les notions cantoriennes et les ont fait fructifier sur le champ de la mathématique positive, si on devait l'ériger en une métaphysique qui s'enfermerait rigoureusement dans l'enceinte du fini, on soulèverait des difficultés pratiques que l'on ne parviendrait guère à écarter que par des expédients de langage. Par exemple M. Borel borne le domaine de la science positive aux ensembles effectivement énumérables, c'est-à-dire tels que l'on puisse « indiquer au moyen d'un nombre fini de mots, un procédé sûr pour attribuer sans ambiguïté un rang déterminé à chacun de [leurs]