Revue générale des sciences, 1897, p

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d'influence en quelque sorte individuelle sur la délerminalion de la limite. Nous pouvons alors passer par-dessus Pinfinité des ternies pour oprrer sur la limite, ou sur la somme, d'une telle série. De là Timporlance décisive de la notion de convergence, qui s'est manifestée comme la base de l'analyse moderne.

La théorie des ensembles, tant qu'elle ne dépasse pas ce point, ne soulève aucune difficulté qui ne trouve sa solution dans la considération de l'arithmétiqut^ élémentaire ou de la géométrie classique. Et elle n'a pas eu besoin d'aller au delà pour se révéler comme un instrument d'une admirable puissance; nous n'aurons qu'à mentionner ici les travaux de M. Baire sur les fonctions discontinues qui sont limites de fonctions continues, ceux de M. Jordan et de M. Borel sur la mesure des ensembles, ceux de M. Lebesgue sur Tintégration qui ont eu pour résultat d'élargir encore la conception de Riemann ^ Ces travaux ont reculé les frontières de l'analyse; mais ils n'ont pas rompu avec les procédés communs de la science. On peut dire qu'ils se meuvent à l'intérieur de ce qu'avec M. Lebesgue on appellera la représentation analytique : « Je dirai qu'une fonction est représenlable analytiquement^ si l'on peut la construire en etl'ectuant, suivant une loi dé terminée, les opérations élémentaires (additions, soustractions, multiplications, divisions) et des passages à la limite, en nombre fini ou dénombrable, à partir de constantes et des variables, supposées en nombre fini ou dénombrable - ».

338. — La théorie des nombres transfinis rentrera-t-elle également dans le domaine de la science positive? A vrai dire la difficulté n'est pas tant de savoir s'il existe un nombre transfini que de savoir s'il en existe plus d'un. Il est sûr que la série des nombres naturels, dont tous les termes sont finis, a pourtant un nombre infini de termes; mais il n'est pas sûr que ce nombre

1. L'idée innilresse de M. Lebesgue peut èlre résumée de la façon suivante: " Soit y une fonction croissante dans un intervalle. Au lieu de partir, comme lliemann, de la division en intervalles partiels, et d'en multiplier les longueurs par l'une des valeurs yt de la fonction dans chaque intervalle, inversement au départ on se donne la division des variations de la variation, c'est-à-dire les nombres yi. » Fouet, Leçons élémentaires sur les fonctions analytiques, t. I (r° édit.), 1902, p. 2.58, n. 1. Pour une vue d'ensemble de ces travaux, auxquels sont consacrées les monographies de M. Baire, Leçons sur les fonctions discontinues, 190.5. et de M. Lebesgue, Leçons sur l'intégration cl la recherche des fonctions primitives, 1904. Cf. Borel, La théorie des Ensembles et les progrès récmts de la théorie des fonctions. Revue générale des sciences, 1909, p. 321 et suiv.

2. Contribution à l'étude des correspondances de M. Zermelo, Bulletin de la Société mathématique, 1907, p. 203. Cf. Journal de Mathématiques, 1903, p. 14.5.

infini soit lui-même le point de départ d'opérations nouvelles, destinées à devenir la base d'un calcul transfinitaire. En effet dans la série considérée, la condition de convergence fait défaut; nous ne pourrons plus tirer de la loi de sériation un résultat déterminé puisque nous n'aurons pas le droit d'écarter a priori le rôle des termes qui apparaissent au cours du développement de la série; à chaque terme nouveau correspondra une opération nouvelle; de telle sorte que, pour avoir le droit de considérer le premier nombre transtini, non seulement comme exprimant une détermination qualitativement distincte de toute détermination finie, mais comme étant la base d'un système nouveau de relations, nous aurions besoin de nous assurer à nous-mêmes que nous avons effectivement accompli une infinité d'opérations ; et nous sommes incapables de nous donner cette assurance.

Nous comprenons alors pourquoi la théorie des ordinaux transfinis s'est heurtée à des problèmes de caractère exlrascientifique. Au lieu de s'appuyer sur la nature des lois génératrices des séries, elle a été obligée de revenir à l'intuition directe des termes; car les termes doivent être donnés antérieurement à l'abstraction de l'ordre qui les relie, comme l'intuition des individus est nécessairement antérieure à la formation de la classe que ces individus constituent'. Or, tant que l'on se contente d'opérer sur des termes en nombre fini, on peut prendre pour point de départ les résultats fournis par les processus de l'abstraction ou de la généralisation, et se donner ainsi l'illusion de raisonner a priori : le raisonnement sera inoffensif, pour autant d'ailleurs qu'il est stérile. 11 n'en est plus de même si l'on veut considérer une infinité de termes : le raisonnement promet ici d'être fécond, puisqu'il ajoute aux données de la représentation ; mais il est suspect. Gomme il n'a pas de garantie à la base, il ne possède pas non plus le frein qui le l'eticndrait dans le domaine de la positivité. La conception des nombres trans- (inis doit inévitablement s'étendre jusqu'à embrasser l'ensemble des ensembles, la totalité des ordinaux transfinis; et inévitablement, comme l'a montré M. Burali-Forti, la contradiction éclate : « Un des traits caractéristiques du canlorisme, remarque avec profondeur M. Poincaré, c'est qu'au lieu de s'élever au général en bâtissant des constructions de plus en plus compliquées et de définir par construction, il part du geniis supremum

1. Cf. Goulural, La logique malhéinatiqac de M. Peano, Revue de mélaphysique, 1890, p. 620 : « Il nous paraît difficile de concevoir une classe, et encore plus la relation d'inclusion ou d'exclusion entre deux classes, sans considérer les individus qui les composent. »

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l'I lie (Ic'liiiil, comme auraient dit les scolasliques, que per fjeniiH j)i-oxiiniim et différent iam specificam ' ».

339. — Des discussions soulevées par les conceptions nouvelles lie l'infini, des expressions même qui y ont été employées, se déi>aji:e donc une conclusion dont on ne saurait, suivant nous, exagérer l'importance pour la théorie de la connaissance L'alternative imaginée par du Bois-Reymond entre le réalisme du sensible et le réalisme du suprasensible conduit à un conflit sans issue. Au contraire, le débat est clair, et la solution s'imposera d'elle-même, si on y retrouve la lutte entre deux formes opposées du rationalisme. Suivant Tune l'idée est un concept au sens aristotélicien et scolastique; le rôle essentiel de l'esprit est de saisir les termes les plus i>"énéraux du discours, ([uille à s'épuiser dans l'elfort pour les enfermer dans une définition première. La seconde est la doctrine intellectualiste des Platoniciens et des Cartésiens où l'idée est une « action de l'esprit- », se traduisant dans la liaison opérée par le jugement et exprimant le fait même de comprendre, tô intelligere. Il faut avouer sans doute que ces deux formes, dont Fanlagonisme latent nous a paru dominer l'histoire de la philosophie, ont été rarement distinguées avec une netteté suffisante. L'intellectualisme, nous l'avons constaté à maintes reprises en suivant le cours de la doctrine depuis l'école platonicienne jusqu'à l'arithmétisme du xix" siècle, n'a pas toujours su résister à l'obsession de la déduction purement logique: il s'est laissé aller à partager l'ambition des doctrines qui, procédant du général au particulier, visent naturellement à envelopper l'univers du discours dans les conséquences de quelques données initiales. Mais l'examen critique du mouvement logistique, comme les résultats positifs fournis par l'analyse de la connaissance arithmétique et de la connaissance géométrique, permettent de rétablir et de dégager le rythme propre de l'intelligence dans la production et dans la composition des idées, dans l'unification du savoir scientifique. C'est cette tâche que nous nous proposons d'achever en nous plaçant sur le terrain de l'algèbre, où déjà l'arithmétisme avait porté l'un de ses principaux efforts.

!. Science et méthode, p. il.

2. « Gonceptus actionem mentis exprimere videtur. » Spinoza, Eth. III, déf. III, Explicatio.