LES RACINES DE LA VÉRITÉ ALGÉBRIQUE

340. — La constitution de lalgèbre comme discipline indépendante marque dans l'histoire de la mathématique Tavènement de la pensée moderne; et pourtant nous n'avons pas rencontré de conception philosophique dont nous puissions dire qu'elle soit purement algébrique. Jusqu'à Viète, et chez Viète lui-même, les opérations algébriques apparaissent comme de simples généralisations des opérations arithmétiques. Descartes enfin, qui a eu le sentiment si net de l'autonomie de l'algèbre, présente encore la théorie des équations en connexion directe avec la représentation géométrique.

D'ailleurs cette autonomie de l'algèbre devrait être pour la réflexion philosophique un obstacle bien plutôt qu'un appui. L'effort pour isoler la vérité algébrique et l'affranchir de tout ce qui n'est pas elle, pour donner de l'usage des quantités négatives ou imaginaires une justification a priori^ n'aboutit en fait qu'à multiplier les « écueils » et les « scandales ». De guerre lasse, l'arithmétisme, au xix* siècle, s'est rejeté sur le plan de valeur minima, et s'est résigné à regarder l'extension de la notion de nombre comme un système de conventions utiles, de fictions qui réussissent.

Ces difficultés sont liées en un sens au caractère propre de l'algèbre. L'algèbre est assurément le meilleur instrument qu'on puisse souhaiter pour poser les problèmes dans leur généralité et dans leur pureté; mais c'est un préjugé d'en conclure que l'algèbre doive fournir par ses seules ressources la solution des problèmes qu'elle a posés. A l'origine de ce préjugé nous retrouvons l'opposition qui depuis Aristote s'est établie comme une sorte de dogme entre l'ordre de la connaissance et l'ordre de la réalité, et qui conduit à ériger les notions les plus abstraites et les plus tardivement acquises en notions premières, capables de se suffire à elles-mêmes. Une telle opposition n'est pas seule-

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nienl illusoire; elle deviendrait dangereuse si elle nous empêchait, dans le cas où certaines propriétés relatives aux expressions alg-ébriquos ne peuvent pas se vérifier directement, d'invoquer leur partici[)ation à la vérité de Tarithmétique et de la géométrie. En l'ail, c'est à Tunité de la mathématique, telle que nous l'avons conçue, qu'il appartient de dissiper les « nuages » soulevés par la conception purement formelle de l'algèbre.