Pensées, f 335, Section II, fr

des facteurs, dont // n'y a pas de raison de ne pas admettre la lég-imité, nous donnera 5x( — )10 = ( — ) 50. Mais il n'en sera plus de même du produit de deux expressions qualifiées.

L'opération est irreprésenlable; nous ne savons pas ce que le produit de deux expressions qualifiées peut donner dans le domaine de ces quantités, tel que nous l'avons constitué jusqu'ici. L"appui des analogies pratiques nous abandonne; les Hindous disaient bien : « retranchée de zéro, dette devient richesse, et richesse dévient dette »; et Ton peut ajouter avec le proverbe : qui paie ses dettes s'enrichit ; mais peut-on concevoir que qui multiplie sa dette par une autre dette se constitue un capital? Sans doute l'on profitera de cette ignorance pour réclamer le droit à l'exercice du libre arbitre; c'est par décret que l'on posera la ?'èg!e des signes\ et que l'on écrira que le produit de ( — ) 5 par ( — ) 10 est le nombre positif 50.

342. — Seulement la difficulté que l'on aurait ainsi écartée n'est pas tout à fait celle qui se pose dans la réalité. On va se trouver en présence de deux égalités :

La question est de savoir si la quantité (+) 50 qui correspondrait par convention à la multiplication de deux nombres négatifs est effectivement la même quantité que le nombre naturel 5U, produit des deux entiers positifs 5 et 10. De deux choses lune : ou cette identification est le résultat d'une libre convention, la première quantité et la seconde devront alors être toutes deux des notions symboliques, dépourvues de toute signification intrinsèque; le calcul des entiers positifs et celui des expressions qualifiées perdront définitivement toute valeur scientifique pour n'être plus qu'un jeu d'écritures — ou bien il est possible d'établir> entre l'opération dont la première quantité est issue et l'opération dont la seconde provient, une connexion capable de faire participer la seconde à la vérité de la première.

Cette connexion se présentera, d'ailleurs, de la façon la plus simple. Remplaçons le produit 5x10 par l'expression équivalente :

■1. Diophaiite. Arithmel. Liv. I, déf., IX. Edit. P. Tannery, t. 1, p. 12 : Xiv\i'.',

ÈTtl AEÏ'L'.v iroXAoiTcXaT'.aTÔîtTa tcoiîï 'j7:ao$'.v.

LES NOMHRES NEGATIFS 541

.>l elTecluons les opérations. Sur les <iuatrc opéralions, il y en a trois que nous savons faire eL(4ni nous donnent : 200 — 100 — 100, c'esl-à-dire 0. UesLc la qualriènie opération : la multiplication des quantités affectées du signe — . Le résultat ne peut en être (ixé que par convention; mais la convention obéit à une loi de « convenance ». La règle doit être telle tjue le produit (10 — 5) X (20 — 10) soit égal au produit 5 X 10. Or c'est à quoi nous ne pouvons satisfaire (pf en posant :

(— o)x(-10) = .m La valeur de vérité qui est dans l'égalité arithmétique :

5 X 10 = 50 s'étend à l'équation algébrique :

(— o)x(-iO) = oO,

et justifie la règle des signes.

Cette extension est une convention a priori en ce sens qu'elle est une libre création de l'esprit. Mais liberté ne signifie pas arbitraire. La convention procède ici de l'élan acquis par l'esprit au contact de la réalité, et dont il se sert pour découvrir de nouveaux horizons de réalités*. Entre le domaine des nombres positifs et le domaine des nombres négatifs, il n'y a pas identité logique; on ne peut pas justifier le passage à l'aide d'un principe tel que la permanence des formes opératoires. Mais on retrouve ce qu'il y a de fondé dans la pensée de Hankel, en substituant à la notion d'un principe a priori celle d'une connexion — « connexion rationnelle », suivant le langage de Cournot, et, plutôt encore peut-être, connexion naturelle.

Le caractère naturel de cette connexion se confirme par la facilité de la représentation spatiale. La conception cartésienne de la géométrie permet d'interpréter les solutions négatives et leurs combinaisons de façon à présenter un parallélisme rigoureux avec l'algèbre -. Philosophiquement on pourrait dire

1. Cf. Cournot, Considérations, 1872, t. I, p. 141 : « Les signes du négatif cl de l'imaginaire sont choses de convention ou d'usage; mais le négatif et l'imaginaire arrivent par la vertu de l'idée et le mouvement d'évolution qui lui est propre, en forçant la notation à s'y accommoder et l'esprit à le suivre, quoi qu'il lui en coûte. »

2. Dans son Invention nouvelle en algèbre, Amsterdam, 1629 (réimprimée par D. Bierens de Haan, Leyde, 1884), Albert Girard avait indiqué de la façon la

encore que le succès de celte corrélation a peut-être été trop complet; car il conduit à transformer un avantage qu'offre naturellement la transposition spatiale en une nécessité qui serait inscrite dans la réalité des choses. Il a fallu la considération des imaginaires pour dissocier les combinaisons algébriques de leur interprétation géométrique, et préciser les rôles respectifs de l'opération proprement intellectuelle et de Timage intuitive.

LA NOTION d'imaginaire

343. — La notion des quantités imaginaires naît de Tétude de l'équation algébrique du second degré par un processus de pensée analogue à celui qui a fait surgir de l'équation du premier degré la notion de quantité négative.

La recherche des différentes valeurs qui permettent de vérifier une équation du second degré à une inconnue donne toujours une représentation algébrique de forme simple; mais il arrive que cette représentation algébrique ne comporte plus aucune possibilité de calcul, et le cas se présente chaque fois que dans le second membre la quantité sous le radical est négative : le produit de deux nombres égaux, positifs ou négatifs, ne peut jamais être égal à une quantité négative. Dès lors, si résoudre une équation c'est calculer les valeurs de l'inconnue pour lesquelles les deux membres deviennent identiques, il faut bien dire que l'équation est impossible à résoudre. Cependant, par raison de symétrie, et pour faire ressortir cette impossibilité, on pourra désigner par un symbole spécial la racine, impossible à extraire, de cette quantité négative. A côté des solutions fournies effectivement par des nombres apparaissant comme « réels », on placera des solutions « feintes » (suivant l'expression remarquable du xv!!"" siècle), auxquelles ne correspondront que des nombres imaginaires. Mais entre les unes et les autres il y a une diffé»rence de nature qui va jusqu'à l'opposition; la corrélation de l'algèbre et de la géométrie, telle que Descartes l'avait conçue, est propre d'ailleurs à souligner celte opposition; les solutions imaginaires expriment les cas où aucune racine ne peut être obtenue par construction dans l'espace ^

plus nette Li traduction des nombres négatifs « La solution par moins s'explique en géométrie en rétrogadant et le moins recule là où le plus avance. » F" 3 verso. Cf. Encyclopédie, loc. cit., note 149. Colebrooke a retrouvé les traces de cette interprétation dans Lilivati, Op. cit., § 166, p. 71 : « Le segment... est négatif, c'est-à-dire dans la direction contraire. »

1. Ainsi, au livre III de la Géométrie, Descartes détermine le procédé pour

LA NOTION d'iMAUINAIRK 543

Dans ces conditions on est naturellement conduit à une conception noniinalistc, et nous avons vu que l'inlerpiétation nominaliste de rarilliniélismc s'est développée en fait par l'assimilation de l'irrationnel à l'imag^inaire '. Mais, pour les expressions imaginaiies comme pour les quantités négatives, il semble que la difficulté à laquelle le nominalisine répond ne soit pas la difficulté véritable du problème. Il ne s'agit pas en effet de concevoir la définition des quantités imaginaires, ou « nombres complexes » en les considérant comme hétérogènes et « insociables » par rapport aux nombres réels; il s'agit de justifier le mode particulier de combinaison qui reliera les nombres complexes aux nombres réels, qui permettra par là de faire entrer le calcul des imaginaires dans le domaine de la mathématique positive. En d'autres termes, si, pour bien marquer le caractère symbolique de l'imaginaire, on substitue à l'expression \' — 1, indication d'opérations impossibles à effectuer, le signe /, le problème est de justifier la proposition /-:= — 1. Sans doute, il n'est pas contradictoire de faire reposer cette proposition sur une convention arbitraire. iMais, ce qui resterait à expliquer, c'est que la quantité ( — 1 1, issue du produit de deux symboles, ait pu être identifiée avec la quantité — 1 qui pour nous est le résultat naturel et vrai dune opération telle que : 1 — 2, sans que cette identification ait compromis l'équilibre et l'homogénéité du système de la science. Une dernière fois, il faudra donc prendre parti : ou de part et d'autre on est en présence de « simulacres » entre lesquels la volonté libre de l'arithméticien forge à son gré telle relation qu'il lui plaira, et la philosophie mathématique s'inflige définitivement cette disgrâce d'aboutir à nier la réalité scientifique dont elle se proposait de rendre compte — ou la proposition i-^ — 1 est autre chose qu'une équation symbolique, elle participe par quelque biais à la vérité dont les opérations sur les nombres réels ont paru susceptibles.

344. — Pour le cas des nombres imaginaires, une telle participation semble particulièrement difficile à établir, tout au moins dans les cadres ordinaires de la psychologie ou de la théorie de la connaissance. L'évidence rationnelle et l'évidence sensible font également défaut. 11 n'y a pas de principe d'où puissent se

« construire les racines de l'équation, du troisième et du quatrième degré, en déterminant les points d'intersection d'une parabole et d'un cercle, et il ajoute : « si ce cercle ne coupe ni ne touche la parabole en aucun point, cela témoigne qu'il n'y a aucune racine, ni vraie, ni fausse, en l'équation, et qu'elles sont toutes imaginaires. » {AT, VI, 467). 1. Vide supra, § 210.

déduire logiquement les lois des combinaisons relatives aux nombres complexes, ni de représentation intuitive à laquelle nous puissions directement l'aire appel. On ne peut même plus parler ici dune hypothèse qui aurait été construite en vue de faits à expliquer, et qui se justifierait par ses conséquences : lorsque la discussion des équations d'un degré supérieur au premier a conduit à considérer la relation originale qui constitue la quantité imaginaire, nul n'a prévu, nous ne voyons d'ailleurs pas comment on aurait pu prévoir, l'extraordinaire fécondité que cette notion a manifestée dans les diiîérents domaines de la mathématique.

En fait, nous aurons à constater pour elles-mêmes cette fécondité, cette « imprévisibilité », que le pragmatisme et Tintuitionisme contemporains ont, un peu à la légère, présentées comme les marques d'une activité étrangère à la raison, qui nulle part pourtant n'apparaissent d'une façon plus saisissante et plus caractéristique que dans le rayonnement de cette notion purement abstraite de nombre complexe.

Tout d'abord les travaux de Weierstrass et de Dedekind ont mis en évidence un fait remarquable : à la condition de conserver les propriétés essentielles des opérations de l'algèbre ordinaire, par exemple la propriété commutative de la multiplication dont nous avons vu que sont affranchis le calcul des quaternions de Hamillon ou le calcul de l'extension de Grassmann, « l'ensemble des nombres complexes est nécessaire et suffisant pour donner à l'algèbre toute son extension \.. D'autre part, si l'on essaie de créer de nouveaux nombres obéissant aux lois du calcul algébrique, cette nouvelle algèbre est réductible à l'algèbre ordinaire. Le nombre imaginaire est donc l'élément essentiel et universel de l'algèbre -. «

345. — Mais bien plus significative est l'introduction de la notion d'imaginaire dans la discipline mathématique qui, par définition môme, devait paraître en exclure l'emploi, c'est-à-dire dans la théorie des nombres.

Cette introduction s'est faite, en quelque sorte, à deux degrés. Ainsi, dans le Co«/'s d'analyse algébrique {i^'^Y), Gauchy montre que le recours au symbole de limaginaire, sert à faciliter les

1. Cf. J. Tannery, Revue générale des sciences, 1897, p. 138.

2. Gouturat, De Vlnfini mathématique. Note I, Sw la théorie générale des nombres complexes, p. .589, avec renvoi aux Mémoires, Zur Théorie der aus Haupteinheiten gcbildelen complexen Grôssen. publiés par Weierstrass en 1884, par Dedekind en 1883, dans les Nachrichten von der Kôniglichen Gesellscluift der Wissenschaften zu Gôttingen.

LA NOTION D IMAGINAIHK 545

raisonnements arilhmétiques. Je veux démontrer cette proposition ' : si on multiplie l'un parTautre deux nombres entiers dont chacun soit la soiunic de deux carrés, le produit sera encore une somme de doux carrés; a-, 6-, a'\ b'- étant des carres parfaits, les doux nombres auront la forme («- -+- b-) et («'^ + 6'-). On posera les équations suivantes :

(a -h 6 v'^) {a' -h b' \-^) = aa —b b' -+- {ab' + a'b) y -^ {a — b yj^^) {a' — b' \'^^) = aa' — bb' — {ab' 4- a'b) y/^^.

Et, en les multipliant membre à membre, on obtiendra la proposition dont on cherchait la démonstration :

{a^ -V- b-) {a'-' + 6'-) = {aa — bb')- + {ab' -|- a'b)K

Mais, avec Gauss, Tinlroduclion de la notion d'imaginaire a une tout autre portée. Pour nous borner à une remarque très simple, Gauss étudiera la divisibilité des nombres premiers par rapport à des facteurs complexes de la forme a -h bi. « Ici se produit un phénomène intéressant. Tandis que les nombres premiers réels de la forme 4/i -h 3 c'est-à-dire 3, 7, 11... etc., restent premiers dans le domaine des nombres complexes de Gauss, les nombres premiers de la forme 4/z-t-l, c'est-à-dire 5, 13, 17... etc., auxquels il faut ajouter le nombre 2, sont décomposables en facteurs complexes :

2 = (1 -I- /) (1 — /) 5 = (1 -^ 20 (1 — 2/) 13= (3 + 2/) (3 — 20... etc.2«.

La conception do Gauss est donc bien autre chose qu'un jeu de l'imagination abstraite, décrétant une extension paradoxale de la notion relative aux nombres entiers; c'est un instrument de pénétration dans la structure intime du nombre. De fait, le tableau dont nous venons de rappeler les premiers éléments rend presque immédiate la démonstration de ce théorème découvert par Fermât, que tout nombre premier de la forme 4/î-hl est décomposable d'une seule façon en une somme de deux carrés ^.