Winter, ibid., p. 332, et p

Brunschvicg. — Les étapes. 35

346. — La doctrine des imaginaires s'est développée suivant le même rythme dans l'analyse infinitésimale. Au xviii" siècle Jean Bernoulli et Euler utilisent la double attitude de connexion et de discrimination que permet l'emploi des imaginaires « pour la réduction des exponentielles imaginaires aux sinus et aux cosinus des arcs réels ^ ». Si, dans la série qui exprime la fonction exponentielle, on remplace x par a;/, on obtient la série suivante ;

, xi (xi)'- (xiY (xi)'' (xi)''

Les termes pairs deviennent réels, les termes impairs demeurent imaginaires; de telle sorte que la série e^' peut se mettre sous la forme suivante :

a?* 1 . [x X* ce*

La première des séries entre parenthèses est égale à cos cr, le second à sin a;; c'est-à-dire que Ton a : e^' i=:cos x-\~i sin x.

On peut dire, avec Cournot, qu' « il n'y a pas dans l'analyse de fait plus remarquable que [ld\ liaison inattendue qui s'établit, comme une conséquence de l'emploi du signe algébrique v' — 1, d'une pari, entre les fonctions exponentielles et les fonctions trigonométriques, d'autre part, entre les logarithmes et les arcs de cercle, c'est-à-dire entre des fonctions si diverses de nature et d'origine, tant qu'on ne remonte pas à la loi qui régit leurs accroissements différentiels'^ ». En effet, il serait difficile de trouver un exemple plus propre à manifester quelle est, dans ce domaine de la science abstraite qui paraît créé par le jeu de la liberté intellectuelle, « l'objectivité » véritable de la pensée mathématique — un exemple évoquant davantage l'idée d'un fait de nature, lié à une forme spécifique d'expérience".

Mais ceci n'est encore qu'une promesse pour l'avenir : le xix'= siècle, « le siècle des imaginaires* », renouvelle l'analyse par l'usage qu'il fait de la notion d'imaginaire, non dans tel cas particulier ou pour telle classe de transcendantes déterminées,

1. Iiilroductio in analysin infinilorum, t. I, Lausanne, 1748, p. 104.

2. Traité de la théorie des fonctions et du calcul infinitésimal, i. I, 1841, p. 132.

3. Louis Wohcr, Vers le positivisme absolu par ridéalisnie, 1903, p. 264. CL Pierre Boutroux, Vobjcctivilé intrinsèque des mathématiques, lievue de mélaphvsique, 1003, p. 373.